Question

ゆう

上から2行目から3行目にかけてどう変形しているのかを教えてください。
お願いします。

2
重要 例題 40 αn=f(n)α-1型の漸化式
①①①①
a=12, (n+1)an=(n-1)n(n≧2) によって定められる数列{a} の一般項
を求めよ。
[類 東京学芸大 ]
与えられた漸化式を変形すると
n-1
an=
an-1
n+1
[方針1]
これは p.471 基本例題 39に似ているが,おき換えを使わずに,次の方針で解ける。
an=f(n) an-1 と変形すると
an=f(n){f(n-1)an-2}
これを繰り返すと
an=f(n)f(n-1)………..(2)a
よって,f(n)f(n-1)(2)はnの式であるから, an が求められる。
〔方針2〕 漸化式をうまく変形して g(n)an=g(n-1)anの形にできないかを考え
る。この形に変形できれば
g(n)an=g(n-1)an-1=g(n-2)an-2==g(1)ar
であるから, an=
9(1)a
g(n)
として求められる。
解答 1. 漸化式を変形して
解答
n-1
n+1
an= an-1 (n≥2)
n-1 n-2
ゆえに
an
n+1 n
an-2 (n≥3)
これを繰り返して
an=
n1.n2.n~3........ 3.2.10
a
n+1 n
n
5 43'
2.1
1
よって
an= (n+1)n
.
1
すなわち an=
2
①
n(n+1)
1
n=1のとき
a₁ =
n-1
an=
-an-1
n+1
n-1.
n-2
-an-2
n+1 n
n-1 n-2
n+1
n
n-3
-an-3
n-1
1.(1+1) 2
=1/2 であるから,①はn=1のときも成り立つ。
解答 2. 漸化式の両辺に n を掛けると
よって
したがって
(n+1)nan=n(n-1)an-1 (n≧2)
(n+1)nan=n(n-1) an-1=.....=2・1・a=1
1
an= n(n+1)
これはn=1のときも成り立つ。
n+1とn-1の間にあ
るnを掛ける。
数列{(n+1)nan} は, す
べての項が等しい。

Answer 1

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いかがでしょうか？

ゆう

理解できました。
ありがとうございました。