Question

ふく

正四面体の問題が分かりません。
2つ目の答えに引いた青線のOG=AGtanθになる理由が分かりません。内接円の中心との距離はそのように求まるという公式なのですか？実際に内接円を描いてみてtanθの値の位置をかんがえてみたのですが、しっくりこなかったです。

半径1の球が正四面体のすべての面に接しているとき、この正四面体の1
辺の長さを求めよ.
(早稲田大)

答
正四面体の4頂点を A, B, C, D とし、1辺の長さをαとする。
(1) A から底面 BCD に垂線 AH をひくと, Hは正
三角形BCDの重心に一致し、内接球の中心は
AH 上にある.
同様に,正三角形 ACD の重心をGとすると,
内接球の中心はBG上にある.
B
よって、内接球の中心を0とすると,0は線分
AH, BG の交点である.
BM=BC2-CM2 ◆三平方の定理利用
2
a
a².
√3
=-
2
2
であるから,
2
BH=BM=
=/BM=13
重心Hは線分BM を
3
T
G
H
D
M
C
A
0
G
2
B
H
M
=
よって,
また、
2:1 に内分する
2
AH-√AB-BH-√a²-(√3a)--
=
MH=1MB=√3a
6
であるから, ∠MAH = 0 とおくと,
MH
1
tan 0=-
AH
2/2
内接球の半径は
√3
6
12
a
・a
=
2√2
2√2

OG = AGtan = BHtan 0
=3
1
a
√3ax 2/2-2/6
2√2
であり,これが1であることから,
a
=1
2√6
◆MA = MB より
2
MA-MB
よって, AG=BH
■ 「内接球の半径が1」が条
よって,正四面体の1辺の長さは,a=2√6

tanθ 内接円 球 正四面体 三角比 三平方の定理 重心

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

さーな

どうでしょうか？？

ふく

中心Oを通る三角形はこの場合必ず直角三角形なんですか？

さーな

正四面体の内接円で中心Oを通って面に接しているということは、Oから面は内接円の半径となり、円の接線は接点を通る半径に垂直となるからです。

ふく

分かりやすい図までありがとうございます♪
内接円が垂直となっていることで直角三角形を作ってたんですね！