Question

は

画像の丸でかこった部分についてなのですが、なぜこれは必要条件といえるのですか？
逆を確かめないといけない問題で引っかかって△になることが多いです
何かポイントとなることがあれば教えていただきたいです

総合
π
0<< とする。 cosQは有理数ではないが, cos 20 とcos 30がともに有理数となるような0
21
の値を求めよ。 ただし, pが素数のとき,VDが有理数でないことは証明なしに用いてよい。
[京都大]
本冊 数学Ⅱ例題154
cos 20=2 cos²0-15
cos 30=4cos30-3cos0=(4cos30-2cos0)-coso
=2cose
(2cos20-1)-cos0=2cos0cos20-coso
=cos (2 cos 20-1)
←2倍角の公式。
← 3 倍角の公式。
ここで, 2cos20-1≠0 とすると cos0=
cos 30
2 cos 20-1
①
cos 20, cos 30 がともに有理数であるとすると, ① より coso
も有理数となる。
よって、条件を満たすには 2cos20-1=0でなくてはならない。 ←2cos20-1=0である
1
すなわち cos 20=
2
ことは、条件を満たすた
めの必要条件。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

MathLove

単に2cos2θ－1≠0では不適だったので2cos2θ－1＝0になる必要があるということだと思います。気になることがあれば聞いてください。

は

理解できました。ありがとうございます。
もう一つお聞きしたいです。
逆を確かめるのは必要条件しか満たしていないときだと思うのですが、なにかそれらの場合の共通点などないですか？あったら楽なんですが……

MathLove

まずは同値性を常に意識することです。そして今回みたいに消去法的に条件を求めた場合には基本的にそれは必要条件しか担保されていないので、十分性の確認(逆の確認)が必須になります。自分の中で言語化すると良いと思います。つまり｢cosθが有理数でなく、cos2θとcos3θがともに有理数｣⇒｢2cos2θ－1＝0｣は今言えました。この逆が正しいことを直ちに言えない(自明でない)のならば逆の確認をしましょう。客観的に見て誰もが同値(⇔)と言えない限りは書いておけば良いでしょう。

は

わかりました
ありがとうございます