例題
基本内
33 x+y+z=nの整数解の個数
x+y+z=9,x≧0, y≧0, 2≧0 を満たす整数x, y, zの組(x, y, z)は,
全部で何組あるか。
x+y+z=12 を満たす正の整数x, y, zの組 (x, y, z) は,全部で何組ある
か。
[類 芝浦工大, 神奈川大] 基本 32 重要 34、
(1) 1つの整数解 (x, y, z) の組は 9個のと2個の仕切り | の順列に対応する。
例えば
001000
は
(x, y, z)=(2,3,4)
(x, y, z)=(6, 0, 3)
に対応する, と考えればよい。 つまり、(x,y,z)の組の総数は, 異なる3種類のも
のから、重複を許して 9個取る組合せの総数となる。
(2)正の整数解であるから,x,y,zは0であってはいけない。そこで
x-1=X, y-1=Y, 2-1=Z
ときであってもよい X≧0, Y≧0, Z≧0 の整数解の場合に帰着させる。
また、別解のように、12個の○と2つの仕切りで考えることもできる。
(1)9個の○でx,y,z を表し,2つので仕切りを表す。
求める整数解の組の個数は,9個の○と2個の|の順列の
総数に等しいから
11Cg=11C2=55 (組)
別解異なる3個のものから,重複を許して9個取る組合せ
と考えられるから
さ
3Hg=3+9-1Cg=11C9=11C2=55 (組)
(2)x-1=X, y-1=Y, z-1=Zとおくと
X≧0, Y≧0,Z≧0
このとき, x+y+z=12 から
(X+1)+(Y+1)+(Z+1)=12
よって X+Y+Z=9, X≧ 0, Y ≧0,Z≧0.
(A)
求める正の整数解の組の個数は、 A を満たす0以上の整数
解 X, Y, Z の組の個数に等しいから, (1) の結果より
55組
別解 12 個の○を並べる:○○○○○○○○○○○○ |
このとき,○と○の間の11か所から2つを選んで仕切り
を入れ
A|B|C
仕切りで分けられた3
つの部分にある○の
個数を, 左から x, y,
zの値と考える。
x, y, zはすべて1以
上の整数であるから,
○との順列で,仕切
りを連続して並べて
はいけない。
例えば
○○
としたときの,A,B,Cの部分にある○の数をそれぞれ
x, y, z とすると,解が1つ決まるから
一〇〇〇〇は
(x, y, z)=(3, 5, 4)
を表す。
11C2=55 (組)
385
1
章
⑤組合せ
