Question

Ui

逆関数の問題で、解答のように部分積分にするのはなぜですか？
置換積分のように、x=sinyより、区間をπ/6〜π/2 dx=cosy・dy を代入するだけで求まらないのはなぜですか？
(※与式は、『これを踏まえて〜』の下段の式で、f(x)=sinx(0≦x <π/2)が与えられています。)

(5)
y = f(x) = sin x
x
≦x<
2
<^^) とおく.
逆関数は = sin y
(0 ≤ y <
<)
両辺 æ で微分すると
dy
1
= cos y .
dx
dy
1
1
=
(ƒ¯¹(x))' =
||
dx
cos y
1 - sin²
Y
これを踏まえ
[³
f-1(x) dx
= [xƒ¯¹(x)]
=
.
f
-
F (1) -1
x(ƒ¯¹(x))' dx
X
√1 − x²
dx
=
1
.
πT
2 6
=
+
1
"
3
+
1
12
2
1
√√1 - x2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

MathLove

置換積分でも解けますよ。僕は逆関数の積分は置換するのが好きです。

Ui

簡単でもいいので、この問題を置換で解く解き方を教えてください。
僕は置換したら　∮[π/6→π/2]siny・cosy・dy となり、答えが全く違ったのですが、何がいけなかったのでしょうか？

MathLove

逆関数の定義よりy＝f^－1(x)⇔x＝f(y)＝siny。
x＝sinyよりdx＝cosy・dy。積分区間の対応はxが0→1/2の時、yは0→π/6であるから、与えられた定積分は∫【0→π/6】ycosy・dyとなります。あとは部分積分しましょう。

MathLove

逆関数の積分はこの流れでやると良いです。数Ⅲの青チャート需要例題にこれの類題があります。また、YouTubeで｢逆関数の積分｣と調べると、ヨビノリたくみさんの動画とパスラボさんの動画が出てきます。演習したければそちらへどうぞ！

MathLove

補足)何がいけなかったのですかに対する回答としては、
①積分区間を変える時の区間を間違えてしまったこと
②f^－1(x)＝sinyとしてしまっていること
の2点です。

Ui

ありがとうございます。
青チャはないのですが、FocusGoldで確認してみようと思います。