(Ⅱ)が全く分かりません😭

数学

高校生

解決済み

1年以上前

(Ⅱ)が全く分かりません😭
1行目の‪α‬^n-1もどこから来たか分かりません
シグマの計算部分もよく分かりません！
教えてください！

精講 an+2=pan+1+gan の型の漸化式の解き方は 2次方程式 t2=pt+g の解をα βとして,次の2つの場合ます. anをしとして an 2次方程式を解をの、とする (I) αキβ のとき an+2=(α+β)an+1 -aβam より an+2-aan+1=β(an+1-aan) ・① an+2-Ban+1=α(an+1-Ban) ② ①より, 数列{an+1-aan} は, 初項 α2-aa1, 公比βの等比数列を表す an+1-aan=β"-1 (azaar) ......、同様に,②より,an+1-βan=an-1 (aβas) .......② ①-②'より, (B-a)an=ẞ"-1 (a2-aa₁)-an-¹(a2-Ba₁) ト β-1 (a2-aal)-an-1 (a2-Bas) . an= (LBSTB-a 注実際には α=1 (またはβ=1) の場合の出題が多く. その場合は階列の性質を利用します。 (本間がそうです) (II) α = β のとき an+2-aan+1=α(an+1-aan) : an+1-aan=α-1 (a-aa) つまり,数列{an+1-αam} は, 初項 α2-da, 公比αの等比数列. (s) 1=2 an a2-ad1 = n+1 ani a² & ③の両辺を α"+1でわって, an An+1 n n- n≧2 のとき, ak+1 k+1 ak k n-1 a2-aay = k=1 a k=1 Q2 よって, an a an as-(n-1).az-aa = =(n-1)・ .. an=(n-1)αn-2az-(n-2) an-1a1

回答

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mo1

1年以上前

参考・概略です

【1行目について】

●a[n＋1]－α・a[n]　＝b[n]　　とすると
　a[n＋2]－α・a[n＋1]＝b[n＋1]　となるので

漸化式が、
　b[n＋1]＝α{b[n]}　となり、
　　これは、b[n]をα倍するとb[n＋1]になる
　　つまり、公比αの等比数列であることを表しています
さらに、初項が
　b[1]＝a[1＋1]－α・a[1]＝a[2]－α・a[1]　であることから

等比数列の標準的表現として
　b[n]＝αⁿ⁻¹・(a[2]－α・a[1])

●b[n]＝a[n＋1]－α・a[n]　と戻して
　a[n＋1]－α・a[n]＝αⁿ⁻¹・(a[2]－α・a[1])

mo1 1年以上前

【シグマの計算部分について】
どのへんなのでしょうか、長いので絞っていただけると有難いです
●「n≧2」の。Σどうしの変形なら、前の式を代入しています
●「よって」のΣから計算した部分なら、定数なので公式より、単純に(n－1)をかけています
●「∴」のところなら、前の式を変形しています

プリン(っ ॑꒳ ॑c)ﾝﾏｯ!! 1年以上前

最初の部分とても分かりやすいです！
ありがとうございます！
シグマの部分はよっての左辺部分の計算です！
お願いしますm(_ _)m

mo1 1年以上前

「よって」の前のΣの式の両辺を展開すると

k＝1　から　(n－1)　までの(n－1)項の和なので

　k＝1　で、　{ａ₂/α²}－{ａ₁/α¹}＝(ａ₂－αａ₁)/α²
　k＝2　で、　{ａ₃/α³}－{ａ₂/α²}＝(ａ₂－αａ)/α²
　k＝3　で、　{ａ₄/α⁴}－{ａ₃/α³}＝(ａ₂－αａ₁)/α²
　k＝4　で、　{ａ₅/α⁵}－{ａ₄/α⁴}＝(ａ₂－αａ₁)/α²
　k＝5　で、　{ａ₆/α⁶}－{ａ₅/α⁵}＝(ａ₂－αａ₁)/α²
　・・・・・
　k＝n-1で、　{ａ[n]/αⁿ}－{ａ[n-1]/α¹}＝(ａ₂－αａ₁)/α²

　となり、両辺を加えると
　　左辺が、{ａ₂/α²}－{ａ₂/α²}＝0、
　　　　　　{ａ₃/α³}－{ａ₃/α³}＝0
　　　　　　{ａ₄/α⁴}－{ａ₄/α⁴}＝0
　　　　　　{ａ₅/α⁵}－{ａ₅/α⁵}＝0
　　　　　　{ａ₆/α⁶}－・・・・＝0
　　　　　　・・・・－{ａ[n-1]/α¹}＝0

　　　と途中が消え、{ａ[n]/αⁿ}－{ａ₁/α¹}　となり

　　右辺が同じものが(n－1)項あり、(n－1){(ａ₂－αａ₁)/α²}　となります

　以上から、

「よって、{ａ[n]/αⁿ}－{ａ₁/α¹}＝(n－1){(ａ₂－αａ₁)/α²}」

　と表現されているようです