Question

るいぼすてぃ

式が成り立つかどうかの証明なのですが、
解説がなぜそうなるのかが分かりません
どなたか詳しく解説お願いします💦

成りたつことを示せ.
-n-r
(ii)
n
Cr=-1Cr-1+n-1Cr

(ii) n-1Cr-1+n-1Cr
(n-1)!
(n-1)!
==
+
-(r−1)! (n− r)!
r!(n-r-1)!
(n-1)!{r+(n-r)}_(n-1)!n
==
r! (n―r)!
nCr=n-1Cr-1+n-1Cr
r!(n-r)! r!(n-r)!
n!
=
=nCr

Answer 1

鯛のお造り

nCrは、
　(nからr個の積)/(rからr個の積)
です。
例えば5･4･3という積を取り出したければ
　(5･4･3･2･1)÷(2･1)=5!÷2!=5!÷(5-3)!
※(5-3)!の3の部分は5･4･3で掛けている数字の個数
とすれば良いように、分子は、
　(nからr個の積)=(nから1までの積)÷(n-rから1までの積)
　　　　　=n!÷(n-r)!
と変形します
よって、
　nCr={n!÷(n-r)!}/r!=n!/(n-r)!r!
です。n-1Crはこの式でnをn-1に変えればよいです。

2行目から3行目について、
　　n!=n×(n-1)×(n-2)×…×1
　(n-1)!=　(n-1)×(n-2)×…×1
なので、
　n!=n×(n-1)!
や、これを変形した、
　1/(n-1)!=n/n!
が成り立ちます。
　1/(r-1)!=r/r!　、 　1/(n-r-1)!=(n-r)/(n-r)!
とすることで、2つの項の分母を揃えています。