Question

Ruka

この問題においてなぜ正四面体ABCDの体積が4Vに等しいのか教えて頂きたいです(* .ˬ.)

2881辺の長さが6の正四面体 ABCD に内接する球の中心
を0とする。
(1) 四面体 OBCD の体積Vを求めよ。
r: OBCOX rate
D B C D = 6 x 6 x 17
9√√
180°
B
D
H
BH=25.
9
正の
AH=26.
2R
SinB.
B
C
59
b
D
ABCD = 63 x 93 x 25.
2N

(1) 正四面体 ABCD の頂点 A から底面
△BCD に垂線 AH を下ろ
すと, Hは ABCD の外接
円の中心となる。
BA
6
D
△BCD において, 正弦定
・H
理により
6
sin 60°
=2BH
すなわち
6
6
BH=
=
=2√3
2sin 60°
/3
よって
60%
C
AH=√AB2-BH2=√62-(2√3) 2
=2√6
また, BCD の面積をSとすると
1
S=1.6・6sin60° = 9/3
2
したがって, 正四面体 ABCD の体積は
1
3
9√3.2√6=18√2
正四面体 ABCD の体積は4Vに等しいから
4V=18√2
9√2
よって V=
2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あ

正四面体ABCDを構成する4つの面は全て正三角形になっています。
また、球Oは正四面体ABCDに内接することから球Oから接点までの距離は球の半径rとなります。

球の中心から正四面体の4つの頂点までそれぞれ線を引くと、4つの四面体に区切ることができ、
それぞれの四面体の体積は
1/3×底面積×高さ
つまり1/3×正三角形の面積×球の半径
で求めることができます。

またこれらの正四面体は合同なので
正四面体ABCDの体積は4Vとあらわせます。