Question

みみ

下から2行目の結果から常に微分可能だと分かる理由が分からないので教えて頂きたいです。よろしくお願い致します。

総合 関数 f(x) は任意の実数xyに対して、f(x+y+f(x)f(y)=f(x)+f(y) を満たし、x=0では
32 微分可能で' (0)=1とする。
(1) f(0) =0であることを示せ。
(2)f(x)は常に微分可能であることを示せ。
(1) f(0) 0 と仮定する。 与式で x=y=0 とすると
3
f(0)+{f(0)}=2f(0)
よって
f(0){f(0)-1}=0
f(0) ≠0 であるから
f(0)=1
このとき,与式で y=0 とすると
よって
f(x)=1
ゆえに
f(x)+f(x)=f(x)+1
f'(x) = 0
[類 芝浦工大〕
本冊 例題 139
12
HINT(1)背理法。
(2) (0)=1 を微分係
数の定義(極限)で表し,
f(0) = 0 を利用。
合
したがって,f'(0)=0となり,f'(0) =1に矛盾。
←f(x)=f(0)=1から
f'(0)=lim
x→0
f(x)-f(0)
としてもよい。
-=0
x
よって,f(0)=0である。
(2) f'(0) =1であるから
(
f(h)-f(0)
lim
f(h)
f(h)-f(0)
=lim
=1
①
←lim
・=f'(0)
h→0
h
h→0
h
h→0
h
与式で y=hとすると
f(x+h)+f(x)f(h)=f(x)+f(h)
ゆえに f(x+h)-f(x)=f(h){1-f(x)}
曲
②
① ② から, 任意の実数xに対して
(DE-Ga
h→0
よって
f'(x)=1= f(x)
h→0
すなわち, f(x) は常に微分可能である。
lim f(x+h)-(x) = lim /h)
f(h)
(8
200-30
{1-f(x)}=1-f(x)
-Onizo
←limf(x+h)-f(x)
h→0Gh
=f'(x)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

哲治

青線部の意味するのは、任意のxで導関数が定まるわけなんで常に微分可能ですね。