思考プロセス
例題
274 2つの等差数列の共通項/260
初項 1, 公差2の等差数列{an} と初項 1, 公差3の等差数列{bn}がある。
(1) 数列{a}と{6}の一般項をそれぞれ求めよ。
(2) 数列{az}と{6}に共通して含まれる項を小さい方から順に並べてで
きる数列{c} の一般項を求めよ。
(2) 未知のものを文字でおく
{a}の第1項と{6} の第m項が等しいとする。
21-1=3m-2 (l, mは自然数)
21-3m=-1の自然数解
1次不定方程式
Action » 等差数列{an},{bn} の共通項は,a=bm として不定方程式を解け
解 (1) 数列{an} の一般項は
an=1+(n-1)・2=2n-1 JU
数列{bm}の一般項は
bn=1+(n-1)・3=3n-2
09 (2) {a} の第1項と{bm}の第m項が等しいとすると,
309]
21-1=3m-2より 21-3m=-1&
l=1,m=1はこれを満たすから
2(1-1)=3(m-1 ... ①
2と3は互いに素であるから, 1-1は3の倍数である。
よって, l-1=3k (kは整数) とおくと
l=3k+1
これを① に代入して整理すると
m = 2k+1
a₁ = bm
2l-3m=-1
2・13・1=-1
2 (1-1)-3(m-1)=1
lmは自然数より k = 0, 1, 2,
n
は自然数より, n=k+1 とおくと
k=n-1
ゆえに,l=3n-2 (n=1,2,3, ...) であるから
(別解)
Cn=a3n-2=2(3n-2)-1=6n-5
2つの等差数列の項を書き並べると
{a}:1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,
{6}:1,4,
7,10,
+11より
3k+1 ≧ 1より
kzO
nとkの対応は不定
方程式を解くときに用
.19
整数の組によっ
13. 16, 19,
...
よって,求める数列{c} は, 初項1の等差数列となる。
公差は2つの数列の公差 2,3の最小公倍数6である
から
Cn=1+(n-1)6=6n-5
三 274 初項 3, 公差2の等差数列
Ale Till
て変わる。
具体的に考える
{m},{m} を具体的に書
き出して規則性を見つ
{c}: 1, 7, 13, 19,
びある。
