Question

かたより

どうして2の10乗－1になるのかわからないです、教えてください🙇‍♀️

重要 例題 135 n進法の応用
TOMER & COMES
(1) 自然数 N を5進法, 7進法で表すと,それぞれ3桁の数 abc (5), cab (7) に
(2) 2進法で表すと10桁となるような自然数は何個あるか。 [(2) 昭和女子大 ]
なるという。このとき,α,b,cの値を求めよ。間
CHART & SOLUTION
n進法で表された数 各位の数字はn-1以下
(1) abc (5), cab (7) をそれぞれ10進法で表して考える。
その際, a, b, cは4以下、かつα≠0, c≠0 であることに注意する。
p.476 基本事項 1
(2) n進法で表すと α桁となる自然数xについて,≦x<n が成り立つ。
また,m≦x≦n (m, n は整数)を満たす整数xの個数はn-m+1個である。
解答
(1) 3桁の数 abc (5), cab (7) を考えるから
1≤a≤4, 0≤b≤4, 1≤c≤4
N=abc(5)=cab (7) であるから
5000508
整理すると
ゆえに
5 進数の各位は4以下,
最高位の数字は0でな
①
い。
α・52+6・5'+c・5°=c・7+α・7+6・7
9a+26-24c=0
26=3(8c-3a)
②
10進法で統一して、等
しいとおく。
次の
(1)
(3)
C
(1
2と3は互いに素であるから, 6は3の倍数である。
よって, ① から b=0,3
[1] 6=0 のとき ②から3a=8c
これと ①を満たす整数 α, cは存在しない。
[2] b=3 のとき
これと ① から
以上により
②から
8c=3a+2
a=2,c=1
a=2,b=3,c=1
8c-3a は整数。
083と8は互いに素であ
るから, αは8の倍数。
0=8+01
a+2≦14 であるか
58c=8
(2) 2進法で表すと10桁となるような自然数をxとすると
【別解
210-1≦x<210 すなわち 2°≦x<210
この不等式を満たす自然数xの個数は
Ex) Jes
20≦x<210+1は誤り!
ように
(2-1)-2°+1=2"-2°=2°(2-1)=2°=512(個) 2°≦x≦2"-1 と考える。
2進法で表すと10桁となる自然数は,
コロ(2)の□に0または1を入れた数であ
るから
2°=512 (個)
01を9個並べる重複
順列 (基本例題 19 参照)。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ととろ

その上の不等式で2¹⁰は含まれないから、最大は2¹⁰-1

かたより

ありがとうございます！！