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f(x)=x^2-2ax-a^2+3a+5
(2)y=f(x)がx軸と異なる2点で交わる
すなわち、f(x)=0の判別式D>0
より、D/4=a^2-1・(-a^2+3a+5)=2a^2-3a-5>0
⇔(2a-5)(a+1)>0
⇔a<-1,a>5/2…(答え)
x軸の正の部分、負の部分の両方と交わるとき、f(0)の値に注目します。
f(0)<0だと下に凸な放物線の形的に必ずx>0の部分とx<0の部分両方で交わりますよね。
よって、条件はf(0)<0
すなわち-a^2+3a+5<0
a^2-3a-5>0
⇔a<(3-√29)/2,a>(3+√29)/2…(答え)
(3)a<3
①⇔1≦x≦3
よって、1≦x≦3の範囲で常にf(x)>0が成り立つようなaの範囲を求める。
これって言い換えると、、、、
1≦x≦3でf(x)の最小値が正である。ということです。
最小値がプラスならそれ以外のところでは+確定ですからね。
よって解の配置問題に帰着します。
f(x)の軸はx=a
(i)a≦1のとき
最小値はf(1)=1-2a-a^2+3a+5=-a^2+a+6
これが正より、a^2-a-6<0⇔(a-3)(a+2)<0⇔-2<a<3
a≦1より、-2<a≦1…②
(ii)1≦a<3のとき
最小値はf(a)=a^2-2a^2-a^2+3a+5=-2a^2+3a+5
これが正より、
2a^2-3a-5<0
⇔(2a-5)(a+1)<0
⇔-1<a<5/2
1≦a<3より、
1≦a<5/2…③
以上より、求める答えは②③より、
-2<a<5/2…(答え)
ありがとうございます！！
助かりました😭
解の配置問題ではなく、2次関数の最大・最小問題です、、すみません。