Question

むにゅたん

(2)で、なぜHが△BCDの外心になるか、なぜ3つの三角形が合同になるか、わかりません。理由を教えてください。

例題 157 空間図形の計量
1辺の長さが2である正四面体 ABCD において, 辺
BCの中点を M, ∠AMD = 0 とするとき, 次のも
のを求めよ。
(1) cose
(2) 正四面体 ABCDの体積V
(3) 正四面体 ABCD の外接球の半径 R
B
M
D出
★★★☆
(4) 正四面体 ABCD の内接球の半径 r
次元を下げる
底面 高さ
(2)V=
=1/2x△BCD
X ABCD XAHS
03
Hはどの位置にあるか?
(3) 立体のまま考えるのは難しい。
外接球の中心が含まれる三角形を抜き出して考える。
B
CD
Action» 空間図形は、 対称面の切り口を考えよ
MH
(4)
四面体の
内接球の
半径の求め方
C
三角形の
類推
内接円の
半径の求め方
nie
思考プロセス
解 (1) △ABC, △BCD は1辺の長さ2の
正三角形であるから
A
AM=√3,DM= =√3
△AMD において, 余弦定理により
√3
2
cose =
(3)+(√3)2-22
2.√3-√3
60°
B
M
C
1
H
D
M
3
-√3
AM²+DM²-AD²
coso=
AABH
(2)AB = AC=AD=2より, 頂点Aから底面 BCD に
垂線AH を下ろすと, 点Hは△BCD の外心である。
AH = AMsin=AM√1-cos20
AH 1 MD
2-AM-DM
AACH = AADH
より BH = CH=DH
よって, 点Hは正三角形
BCD の外心であるから,
H は BC の垂直二等分線
上にある。
よって, 点Hは線分 MD 上にあり
1-
2√6
=
3
3
1
V =
・△BCD・AH
3
よって V =
1
- 3·(½·2.2.sin60°). 2√6
2√2
また
3
(3) 正四面体に外接する球の中心を0とすると,
OBOCOD より 点0から底面 BCD に垂線 OS を
下ろすと,点Sも ABCD の外心となる。
(2)より点は ABCD の外心であるから,点0は線分
AH 上にある。
ABCD
1
2
BC-CD-sin ZBCD
AOBS = AOCS = AODS
より BS CS=DS
点と点Sは一致する。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

直角三角形において、
斜辺と他の1辺の長さがそれぞれ等しいから、
合同です