Question

かなかな

サ、シ、の変形なのですが、解説見ても次この変形が来ても解ける気がしなくてどういうふうに考えたら解けるか教えてほしいです。

第4問~第7問は、いずれか3問を選択し、解答しなさい。
学Ⅱ
第7問 (選択問題(配点 16)
太郎さんと花子さんは, 右の図のような公園で行われる宝
探しゲームに参加している。 公園には、入り口から入って左
前方に街灯(以下, 点A), 右前方に水飲み場 (以下, 点B)
がある。 点Bは点Aから真東に6m進んだ地点にある。
S
入り口
宝探しゲームは、宝が隠された場所についてのヒントをもとに隠された宝を見つ
けるものである。 以下, 複素数の偏角は0以上27未満とする。
(太郎さんは任意のスタート地点Sについて同様の考察を行うことにした。すな
わち, スタート地点S(0) を原点とする複素数平面で. A(a),B(B) とし,東を実
軸正方向北を虚軸の正の方向で、複素数は原点から東に1m進んだ地点
にあるものを考えた。
2点CD を表す複素数をそれぞれ1.6 とすると
r₁ = a+ ケai, β- コ
であるから, 点Eを表す複素数について
Bi A
夢にな
110
a+β
2
サ
シ
B-
a+B
2
が成り立つ。このことは, 点Eが
ス
地点にあることを表している。
--
(1) 第一の宝が隠された場所についてのヒントは次の通りである
・第一の宝のヒント
•
公園内のある地点Sをスタート地点とする。
●点Sから点Aに直進し,点で左回りにだけ向きを変え、その後
2SA だけ直進した点をCとする。
点Sから点Bに直進し,点Bで右回りにだけ向きを変え,その後
2SB だけ直進した点をDとする。
● 線分 CD の中点Eに宝を隠した。
シ の解答群
cosO+isin0
②
COS
→
+isin
COSπ+isinπ
⑥
COS +isin
T
MP
ス
の解答群
① COS
③
COS
⑤ COS
D
COS
sisin 4
24345474
π+isin
T
π+isin
π
44
―π
nisin 7/1
(1) まず太郎さんと花子さんはスタート地点Sを. 仮に点Aから南に6m進んだ
地点と定めて考えることにした。
S(0) 原点, A(6i) とし,東を実軸の正の方向,北を虚軸の正の方向とする複
素数平面を考える。
r8
このとき2点C,Dを表す複素数をそれぞれ とすると
b
18
= アイウ + I |i. 6=h
キ
であるから, 点Eを表す複素数は
ク
である。
点Aから西に3m進んだ
① 点Bから東に3m進んだ
線分ABの中点から北に6m進んだ
③ 線分ABの中点から南に6m進んだ
スタート地点Sから東に3m進んだ
⑤スタート地点Sから西に3m進んだ
(数学II. 数学 B. 数学 C 第7問は次ページに続く。)
(数学II. 数学 B. 数学C 第7間は次ページに続く。)
26-
①-27-

第7問
左回りに左側に向
(DG)地点Sを地点Aから真南へ6m進んだ地点とし,S(0) を原点、東が実軸
の正の方向.北が虚軸の正の方向で, A (6) とする複素数平面を考えると、
P
B (6+6i) である。
y
点Sから点Aに直進し,点Aで左
回りにだけ向きを変え,その後
2SAだけ直進した地点がCなので
点Cを表す複素数は
6
B
A
(1)
11
[2] 18
-12
S
6
88
I
-6
r = -12+6i
D
である。点Sから点Bに直進し,点Bで右回りにだけ向きを変え、その
後2SB だけ直進した地点がDなので,点Dを表す複素数δは
直線 SAは虚軸に一致するの
で、図形的に判断できる。
♂(6+6i) = 2 (cos+isin / {0-(6+6i)}
である。 よって
C
δ=18-6i
6
B
である。 以上より, 線分 CD の中点E
を表す複素数は
A
A.
Sを肺心に回転長さ信した点=0
8 = 2(65 eisin = ) { 0-(646)} Sをだけ回転して,点B
+66 からの距離を2倍に拡大した
点である。
▼点Dは, 点Bを中心に, 点
6
-12
S
$3
18
I
r+8
= 3
2点X(z) Y (y) について
2
-6
である。
D
線分 XY の中点を表す複素
数は
(点Sを原点, 東を実軸の正の方向,北を虚
軸の正の方向とし, 複素数1をSから東へ1m
だけ進んだ地点とする複素数平面を考える。
A(α), B(β) とすると, C を表す複素数 1 は
(i) のδの場合と同様に考えて
71-a=2{cos(-)+isin (一匹)}(0-α)
より
r1 = a +2ai
である。 D を表す複素数 δ」 についても同様に考えて
I
2
E
x+y
2
である。
点Cは,点Aを中心に, 点
D
61-8=2(cos +isin) (0-B)
より
A
B
Ô = β-2βi
であるから, 線分 CD の中点Eを表す複素数
zについて
S
(2
X
2 =
71+61 =
a+β
+(a-β)i
E
2
2
となる。 これより
a+β
2
a + B = (a - b) i = −2i · (-a-B)
←この変形は
- 1 - 16 -
思いつかない
Sを一だけ回転し、点A
からの距離を2倍に拡大した
点である。
点Dは,点B を中心に, 点
Sをだけ回転して,点B
からの距離を2倍に拡大した
点である。
(n)A

--2-(8-a+B)
=-2i・
-2-(-1)-(8-8)
(B B
=2 (cosx+isin1/2x) (B-1/ρ)
a+β
である。 AB=6m より このことは,点Eが線分ABの中点から南へ 6m 進
んだ地点にあることを表している。
③
() 花子さんは (i)と同じ, A (6ź) B(6+6i) で
ある北を虚軸の正の方向とする複素数平面
において, スタート地点Sを表す複素数が
w であるとして考えた。 この複素数平面に
おいて, 点Cを表す複素数は
Y
6
72-61
2
E
3
6
より
=2{cos(一吾)+isin (一)}(-6)
r2 = -12+6i 2wi
である。 また,点Dを表す複素数 δ2 は
より
δ2 - (6+6i) = 2 2 (cos+isin
sin / {w-(+6i)}
Ô2 = 18-6i + 2wi
である。このことより, 線分 CD の中点Eを表す複素数 71 について
D
48
a+B が線分ABの中点を
表す複素数であることに注意
すると、次の図のような状況
がわかる。
E
72 +62
21=
= 3
2
となり,点Eはw によらず一定で, 線分ABの中点から南に6m 進んだ地点
である。
点Eが定点であることがわ
かる。
(2) 太郎さんが (1) (ii) で設定した複素数平面上で考える。 スタート地点 T が直線
AB の北側にあるか, 南側にあるかに応じて, 2点P, Qのとり方は,次の2通
りがある。
(7) スタート地点 T が直線 AB の北側にある場合
(イ) スタート地点 Tが直線AB の南側にある場合
「研究」 参照。
(ア)の場合
( )の場合
YA
P(2)
T(O)
一覧
Q(μ)
I
T(0)
P(入)
A(a)
B(β)
B(B)
A(a)
●Q(μ)
I
以下, (7), (イ)の場合を複号同順で同時に処理する。
点Pを表す複素数を入点Qを表す複素数をμ とおくと,複号同順で
a-a={cos(土)+isin(土)}(0-2)
- ① - 17 -

Answer 1

GDO

サ・(シ)・（β - (α+β)/2）
と記載（誘導）があるので、
{β - (α+β)/2) ⇒ - (α-β)/2に変形しておけば、
サ・(シ)=-2i　となるような選択肢を探して解答するようになっています。

こんな変形は思いつかないので（β - (α+β)/2）を記載して気づくようにしているのでしょう。
（答えの形を示しているので、答えから逆算して見つけさせる問題）