三角比の問題です。この(2)はヘロンの公式なしで解くことはできるのでしょうか

数学

高校生

解決済み

約1ヶ月前

三角比の問題です。この(2)はヘロンの公式なしで解くことはできるのでしょうか？次ページのポイント解説にはヘロンの公式は余力があれば覚える程度で良いと書いてあるのですが…

合出系のの向の向 116 三角比, ベクトルを中心にして 58 三角比の基本公式 mは正の数とする. 三角形 ABC において, AB=4, AC=m+1, BC=m+3 とし、三角形ABCの外接円の半径をR,内接円の半径をする、 (1)=5のとき、三角形ABCの面積Sを求めよ。 (2) =√2 となるようなm の値を求めよ. (3) T R となるようなmの値を求めよ。 3 (解答 >0において (大阪教育) 一辺の長さに文字が含まれているので、形の成立条件」を確認している。 3辺の長さがα, b, cであるとき、三角 (3) (m+3)-(m+1)<4<(m+3)+(m+1) が成立するための条件は、すなわち、 \b-cl<a<bte 2<4<2m+4 である. これははつねに成り立つ、 (1)1=122 (a+b+c)=m+4 とすると, S=√1 (1-a) (1-b) (L-c) a<b+c 以下, a=m+3,b=m+1,c=4 とする. =√(m+4)・1・3・m =5を代入すると S=√9・1・3・5=3√15 b<c+α すなわち c<a+b をまとめたものである. a<bte b-c<a c-b<a これを満たしていないと三角形は作れないたとえば, 3, 5, 10 を3辺とする三角形はれない (10<3+5は成り立っていない) <別解: ヘロンの公式を使わなくても容易に解ける> m=5のとき, a=8, b=6,c=4である. 余弦定理より、 _6242-82 cos A=- 2.6.4-1 4 0° <A<180° より, sinA>0であるから, sinA=v1-cos?A=√1- 16 よって、 3 10 A 4=c, _m+1=6 1 √15 4 B m+3 8 S=1/23besinA=12.6.4.15- -=3v15 (2) 三角形ABCの面積Sは,内接円の半径と(1)のを用いて, S=11½ r(a+b+c) =rl (1)で,l=1/2(a+b+c)と定めていると表される (1) より, S=√3m(m+4), l=m+4であるから, v3m(m+4)=v2(m+4) 3m(m+4)=2(m+4)2 S=rlに代入した 3m=2(m+4) ∴.m=8

回答

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希

約1ヶ月前

(2)の解答の中にある別解がそれではないですか？

みかん約1ヶ月前

回答ありがとうございます！
これは次ページの解説なのですが、(1)のヘロンを使わない別解はあっても(2)にはないんですよね…

希約1ヶ月前

(2)の解答ではヘロンの公式を使っていないので大丈夫じゃないですか？

(2)で使っているのは内接円の半径を用いた三角形の面積の公式なのでヘロンの公式とは関係ないです。

みかん約1ヶ月前

青いマーカーを引いてる部分はヘロンなしで解けるのですか？

希約1ヶ月前

なるほど、そこでは使ってそうですね。ヘロンの公式を使わずにSを求めることは可能ですが、mが入っているので圧倒的に面倒です。一応載せておきます。

余弦定理より、
BC² = AB² + AC² - 2AB AC cosA
なので、
(m+3)² = 4² + (m+1)² - 2•4•(m+1)cosA
展開して整理すると
cosA = (2-m)/{2(m+1)}
となります。
sin²A + cos²A = 1より
sin²A = 1 - ((2-m)/{2(m+1)})²
= 3m(m+4)/{4(m+1)²}
よってsinA = √{3m(m+4)} / {2(m+1)}
なので
S = 1/2 • AB • AC • sinA
= 1/2 • 4 • (m+1) • √{3m(m+4)} / {2(m+1)}
= √{3m(m+4)}