Question

うい

高校数学Ⅱ、関数の最大最小の問題です
画像の問題の考え方がよく分かりません。どうしてXだけの式で表すのでしょうか。
また、色をつけている部分の計算が分かりません。
①2y²＝…の2y²はどこからきたのでしょうか。
②x(x+4-x²/2)からどういう計算をしたら-1/2x³+x²+2xになるのでしょうか。
質問が多いですが、分かる方回答お願いしますm(_ _)m

421
x2+4y=4のとき,x (x+2y2) の最大値と最小値を求めよ。 また,そのとき
のx, yの値を求めよ。

421
■問題の考え方
基本的な考え方は問題420と同様である。
xyの式をxだけの式で表し,xのとりうる
値の範囲に気をつけて最大値、最小値を考え
ればよい。
x'+4y2=4から
4y2≧0であるから
よって
4y2=4-x2
4x220
-
-2≤x≤2 86
①
es
4-x2
①から
2y2=-
2
したがって
x(x+2y2)=xx+
1
=x(x+4=-2x²)=-1/2x²+x²+2x
f(x)= x+x2+2x (−2≦x≦2) とすると
2
f'(x)=1/2x2+2x+2=1/2
x2+2x+2=-1/2(x-2)3x+2)
2
f'(x) = 0 とすると x=
2
3
V17
f(x) の増減表は次のようになる。

X
-2
f'(x)
f(x)
4
よって, f(x) は
-
|
2-3
0
2017
+
2
ES
74
x=±2で最大値4をとり、
24869
2で最小値-20 をとる。
x=
3
x=±2のとき, ① から 4y2=0
よって
y=0
2407
x=
1/2 のとき,①から
32
==
よって y=±-
3
したがって
x=±2, y=0で最大値4をとり,
x=
2
2√2
3'
y=±-
で最小値
3
--
2012
27
をとる。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あ

どうしてxだけの式で表すのでしょうか？
→xとyの式だとxとyの2つともが動いてしまい動きを追うのが難しくなるからです。
xだけの式にすれば、1変数の関数として処理しやすくなります。
①
→与えられた条件式を変形しただけです。
x^2+4y^2=4
より4y^=4-x^2
両辺を2で割って、2y^2=(4-x^2)/2
2y^2を作る理由はx(x+2y^2)の2y^2に代入してxだけの式にするためです。
②
→x(x+4-x^2/2)をどう展開したらいいか？
これは中学数学の基礎です。そこに弱点があるなら戻る勇気を出すのも大事なことです。
計算としては、xをひとつひとつに分配して、
x・x+x・(4-x^2)/2
=x^2+(4・x-x^2・x)/2
=x^2+(4x-x^3)/2
=-1/2・x^3+x^2+2x
(・をかけることを意味します。~

うい

詳しく教えていただきありがとうございました（ ; ; ）
理解できました！