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如果本來的數列是 p, q, r (這是等比數列)
第二項加上2： p, q+2, r (這是等差數列)
第三項加上16： p, q+2, r+16 (這是等比數列)
通常這種有等比又有等差的題目
會用等差的條件來假設
再用等比的條件來解方程式
(這個方向通常比較好解)
所以把 p, q+2, r 換成 a-d, a, a+d
(假設中間項是 a 的話形式比較對稱)
那麼原本的數列 p, q, r 相應就要換成 a-d, a-2, a+d
等比中項的關係：q² = pr
⇒ (a-2)² = (a-d)(a+d)
同時新的數列 p, q+2, r+16 也要換成 a-d, a, a+d+16
同樣由等比中項的關係：a² = (a-d)(a+d+16)
最後就是要解這組方程式
(a-2)² = (a-d)(a+d)
a² = (a-d)(a+d+16)
第一個方程式：
a² - 4a + 4 = a² - d²
⇒ 4a - 4 = d²
第二個方程式：
a² = (a-d)(a+d) + 16(a-d)
= a² - d² + 16a - 16d
⇒ d² = 16a - 16d
因為 a 只有一次方項，d 有一次方和平方項
所以選擇把 a 消掉，留下 d 和 d²
{ 16a - 16 = 4d²
{ d² = 16a - 16d
兩式相加
⇒ d² - 16 = 4d² - 16d
⇒ 3d² - 16d + 16 = 0
最後就是解出 d 和相對應的 a，還有對應的數列
謝謝