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x² = 4yの焦点Fの座標は(0,1)
点Pのx座標はaなので、P(a,a²/4)と書ける。
また、準線はy = -1なのでPから準線に下ろした垂線との交点Hは(a,-1)である。以上より、
P(a,a²/4), F(0,1), H(a,-1)
△PFHが正三角形になるには、3辺PF,FH,PHの長さが等しくなればよいです。
PF² = (a - 0)² + (a²/4 - 1)² = a² + (a² - 4)²/16,
FH² = (a - 0)² + (-1 - 1)² = a² + 4,
PH² = (a - a)² + (a²/4 + 1)² = (a²/4 + 1)²
ここで、PF² = FH² = PH²が成り立たなければなりません。まず、PF² = PH²は常に成り立ちます(計算すれば分かります)。
次に、PF² = PH²について立式すると
a² + (a² - 4)²/16 = a² + 4
整理すると(a² - 4)² = 64となり、a² - 4 = ±8
となるが、a² ≧ 0なのでa² - 4 ≧ -4
よってa² - 4 = 8となり、a = ±2√3
a > 0なので、a = 2√3です。このとき、F(0,1), H(2√3,-1)なので、FHを結ぶ直線はy = - x/√3 + 1
となります。これとx² = 4yを連立して解くと、
x = 2√3/3, -2√3となります。今求めたいのは、辺FHとCの交点なので、交点は辺FH上にないといけません。
よって点Fと点Hのx座標の間にないといけません。それぞれのx座標は0と2√3なので、0 < x < 2√3を満たさないといけません。よってb = 2√3/3
まず、△PFHの面積を求めます。底辺を、PHとすれば高さは2√3です。PH = 3 - (-1) = 4なので、△PFHの面積は4 × 2√3 × 1/2 = 4√3
続いて、△PFQの面積を求めます。底辺をFQと見ると、△PFHの底辺FHを1/3にした三角形と見ることができます。よって、△PFHの底辺を1/3したものなので、面積も1/3すればよいので求める面積は4√3/3です。
その式で移項してみると、aも消えて0 = 0になるのでPF² = PH²は常に成り立ちます。なので、次にPF² = FH²について考えればよいです。
私の解答の中で、
「次に、PF² = PH²について立式すると」
という所があるのですが、正しくは
「次に、PF² = FH²について立式すると」
です。失礼しました。
ありがとうございます😭またわからないところでてきたらよろしくお願いします、、
時間空いてしまってすみません、、もう一度自分で解いてみたらXの座標aの値が0になりました😭どこでまちがえたかわかりますか？