Question

Erick

這題是什麼

3. 如右下圖所示,已知AABC中,AB=AC, D.E分別在AB及AC上,且DB=BC=CEO為
AMBC外接圆的圖心,且直線分別交 AADE 外接圖及AABC外接圆於H.F兩點(皆異於點A),
M 是線段 FH 的中點,試回答下列問題:
A
FH AF
(1)證明:
0
(4分)
BD AB
AF 2BF
(2)證明:
0
(4分)
AB BC
(3)證明:∠ABM=<MBC。(4分)
D
HI
MO
B
C
F

Answer 1

qn

(括號內容是思路，不必寫入證明)

(1)
(欲證之比例關係，等價於 △ADH ~ △ABF)
(只要證明 DH // BF 即可)
因為 AB = AC , AD = AE
所以 △ABC , △ADE 是等腰三角形
所以 AF , AH 分別為 △ABC , △ADE 的直徑
所以 ∠ABF = ∠ADH = 90°
因此 BF // DH
可得比例關係 AD : AB = AH : AF
重新排列變成 AF : AB = AH : AD
所以 AF : AB = AH : AD = (AF - AH) : (AB - AD) = FH : BD
得 AF/AB = FH/BD 證畢

(2)
(欲證之等式，重新排列可以寫成 AF/BF = 2 × (AB/BC))
(利用相似和等腰三角形就可以證明)
設 AF 和 BC 交於點 P
在 △ABP 和 △AFB 之中
∠BAP = ∠FAB
∠APB = 90° = ∠ABF
因此 △ABP ~ △AFB (AA)
所以 AB/AF = BP/FB
又因為 BP = BC/2
所以 AB/AF = BC/2BF
重新排列可得 AF/AB = 2BF/BC 證畢

(3)
(直接從角度著手感覺比較棘手)
(因此嘗試用角平分線關係切入)
即要證 BM 角平分 ∠ABP
因此只要證明 AB : BP = AM : MP 即得證

(正好前兩題證明的比例關係，似乎都有點關聯)
利用 (1) (2) 結果可知
FH/BD = 2BF/BC

(注意我們還有一個條件沒用到：DB = BC)
由於 BD = BC
所以 FH = 2BF
所以 MF = MH = BF

(再來只要想辦法構造出正確的比例就好了)
又因為 AB : BP = AF : BF = BF : FP
所以 AB : BP = (AF - BF) : (BF - FP)
= (AF - MF) : (MF - FP)
= AM : MP
證畢