Question

May3

整数の問題です
した3行の言ってる意味がわかりません教えてください

(3)m,n が互いに素のとき, (m+n-1)! は m!n! で割り切れることを示せ.
敵数をする

(3) N=
n.
m+n
161 より
1 なので、
(11)が成り立つから,
m+n
(m+n-1)!
とおくと, (m+n)N =
(m+n)
(=m+nCn), nN =
m!n!
m!n!
(m+n-1)!
m!(n-1)!
Ch
n
Cn-1
m+n-in-1 (=N) が成り立つ。 よって,
m+n
n
m+n-1 'n-1
1C7-1 が成り立つ,ここで,m,
C₂ = (m+n)⋅,
nが互いに素のとき,n, m+n
も互いに素である.というのも,n, m+nに共通の素因数が存在すると, (m+n)-n=m
よりもその素因数を持つので対偶が成立するからである.また,m+nCm, m+n-1
1Cn-1 は
m+n-1
整数である. よって, 1Cn-1 はn の倍数なので N=m+n-1n-1 は整数である. よって,
−1Сn−1
[a]
821
n
示せた。
[注1] 自然数のn個の連続整数積が n! で割り切れることは,
(m+n)(m+n-1)......(m+1) =
n!
min C が整数であることから示せるが,本間ではそれを
18x0xar (a+a+D(
(m+n−1)......(m+1)
および、
応用して
(m+n-1)!
=
とおいた
m!n!
(m+n)(m+n-1)......(m+1)
n!
¥249
n!
花はm+n
'n
(m+n-1). (m+1)
(n-1)!
m+n-1Cn-1 が整数であ

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

うどん

割り切れるとはつまりNが整数であるということ示すことがゴールです。
もし、nとm+nが共通因数を持ち、kn'とkl'と表せるとします。
このとき、(m+n-1)C(n-1)がn'の倍数であることしか言えず、(m+n-1)C(n-1)/kが整数とならないかもしれないため、nとm+nが互いに素であることを確かめなければなりません。

May3

ありがとうございます
わかりました

May3

どうしてこの式がnの倍数であるとわかるかも教えていただけませんか

うどん

3行目の左の式を見てください。m+nがnで割り切れないので(m+n-1)C(n-1)の因数にnを含むということです。

May3

わかりました

May3

ありがとうございます

Answer 2

石橋@Clearnote×東大生

そんなに難しいことは言っていなくて、コンビネーション(組み合わせ)は必ず整数通りになるので、ある式をnCkを展開した形に変形できるならそれは整数であるっていうことを伝えているんだと思います！

May3

解説ありがとうございます