Question

ゆうな

数学の問題です。（2）の「ここで②式は〜を満たさなければならない」の意味がよくわかりません。
教えてくれたら嬉しいです。

|多項式f(z)=z4+22 +1がある。
(1) f(z)=0を満たす複素数 z を求めよ。
(2) f(z)=0を満たす任意のに対して,f(wz) = 0 を満たす複素数 w をすべて求めよ。
解説
以下,複号同順とする。
(1) z4+z2+1 = 0
1-11V3i=cos(1/2)+isin (土/13(木)
z=cos0+isin0 (-π≦0<π) とおくと,
2
2
cos20 +isin20=cos (土/ 3 ) +isin (土/1/3)
(±3/3)
−2x≦20≦2x で一般角で考えて,20= 1/32/30
4
よって,=13130
したがって,z=1ty3i, -1±√3i
2
(2)f(wz)=0より, waz4+w2z2+1=0... ①
① と z4+z2+1=0 より,
WAz4+w2z2=z4+22
(wa-1)z4=(1-w2)22
220より, (w2+1)(w2-1)z2=-(2-1)
w2=1のとき, w=±1
w21のとき, (w2+1)z2=-1…②
1
2
w2+1=
2
-17√3 = 1/2(1±√31)
2 -1±√3i -1+√3i
ここで,②式はf(z)=0を満たす任意ので成り立たないといけない。
よって, w2=
-1+ysiかつ= -1-√3i
を満たさなければいけない。
2
2
ゆえに、任意ので②式を満たすw は存在しない。
以上より, w=±1

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

もともと問われていること
（zが(1)のいずれの値であったとしても、
〜〜を満たすwは存在するか？）
を踏まえてください

ゆうな

ありがとうございます