Question

きいろ

この問題は反例で考えなくてはいけないのでしょうか。
代入？をして考えたのですが、間違えてしまいました。
反例で考える時の識別ポイントなどがあったら教えていただきたいです。

以下の問いに答えよ。ただし, x, y, zは実数とする.
実
(1)x+y と xyがともに有理数であることはxとyがともに有理数で
あるためにア.
えみる
(2)x+y>2かつxy>1であることは,x>1かつy>1であるために
イ
(3)xy=0であることは, x2+y2=0であるために
1
1
ウ
(4)xyz≠0のとき, x+y+z= + + =1であることは, x, y, z
x
y Z
のうち少なくとも1つが1に等しくなるために I
ア
~
I の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい)
⑩ 必要十分である
① 必要であるが十分でない
② 十分であるが必要でない
③必要でも十分でもない

(解説
(1) 「x, y が有理数であるならば, x+y と xyは有理数である」は
真.
しかし,逆は偽,反例は,x=√2y=-√2
よって,
ア=
(2) 「x>1かつy>1ならば, x+y>2かつxy > 1」 は真.
2
しかし、逆は偽. 反例は, x=2,y=
よって,
イ= ①
(3)
「x2+y2=0」⇔「x=y=0」.
したがって,「x2+y2=0ならば xy=0」 は真.
しかし、 逆は偽. 反例は, x= 0, y=1.
よって,
ウ= 1
(4) x,y,zのうち少なくとも1つが1に等しい
⇔ (x-1)(y-1)(x-1)=0

Answer 1

和

「○○ならば△△」が真ということは、
仮定○○を満たすものが【すべて】結論△△を満たす、
ということです
1個でも「仮定は満たすが結論を満たさない」
ものがあったら偽です

だから、仮定○○を満たすものをいくつか代入して成り立つ
からといって、即座に真、とは限りません
代入していないものの中に反例があるかもしれませんね

したがって、この手の命題は、偽だと疑ってかかるのを
基本的なスタンスとするのがよいと思います
つまり、反例があると思って、反例を探しにかかります

どうしても反例がなさそうなら、
真かもしれないと切り替えて、証明する方向に行きます

たとえば(1)の逆
「x+y, xyがともに有理数ならばx,yはともに有理数」
なども、「なんとなくそのような気がする」ではなく、
反例、つまり「x+y, xyがともに有理数だが、
x,yの少なくとも一方は無理数」
となる例を探す方針で行くわけですね

あとは経験や演習がものをいう感じです