Question

May3

右側極限左側極限が一致する時連続するのは納得できるんですけど、まるで囲んだところがなぜ必要なのかわかりません
微分可能の定義もいまいちわからないので解説お願いします

107
基本 例題 60 関数の連続性と微分可能性
00000
関数f(x)=x2|x-2|はx=2において連続であるか, 微分可能であるかを調べ
よ。
/p.106 基本事項 重要 62
A
f(x) が x=αで微分可能微分係数 lim
これらの極限について調べる。
指針 f(x) がx=α で連続limf(x)=f(a) が成り立つ p.97 基本事項 1
f(ath)-f(a)
が存在する。
f(x) はx=2の前後で式が異なるから、 例えば連続性については,右側極限
x2+0, 左側極限x → 2-0 を考え,それらが一致するかどうかを調べる。
lim f(x)
x2+0
解答
= limx2(x-2)=0
x2+0
lim f(x)
x-2-0
lim{-x(x-2)}=0
=
20
また,f(2)=0であるから
Timf(x)=f(2)
x2
よって, f(x) はx=2で連続である。
y
y=f(x)
A (A≧0)
<|A|=|
-A (A<0)
を用いて, 絶対値をはず
す。
0
21
x
f(2+h)-f(2)
(2+h)²h-0
次に
lim
lim
ん→+0
h
ん→+0
h
=lim(2+h)=4
------
ん→+0
f(2+h)-f(2)
lim
=lim
0-14
h
h1-0
(2+h)2(-h)-0
h
=lim{-(2+h)}=-4
h--0
ん → +0 とん → 0 のときの極限値が異なるから,
f' (2) は存在しない。 すなわち, f (x)はx=2で微分可能
ではない。
微分可能連続の利用
mil
3章
微分係数と導関数
f(2+h)=(2+h)^|h|
ん→+0のときん>0
ん→-0のときん<0
に注意して, 絶対値をは
ずす。
f(x) がx=αで微分可能 x=α で 連続
A
討
が成り立つ。 よって、上の例題のような問題では,微分可能性から
先に調べてもよい (「微分可能」 がわかれば, 極限を調べなくても
「連続である」 という結論を出すことができる)。
・連続
微分可能
また,Aの対偶 「f(x) がx=αで連続でないx=αで微分
可能でない」 も成り立つ。
練習 次の関数は、x=0において連続であるか, 微分可能であるかを調べよ。
60
(1) f(x)=|x|sinx
0
(x=0)
(2) f(x)=
x
(x=0)
[ (1) 類 島根大 ]
1+2
p.115 EX48

Answer 1

🍇こつぶ🐡

右側極限左側極限が一致する時連続するのは納得できるんですけど、まるで囲んだところがなぜ必要なのかわかりません
＞右側極限と左側極限が一致していても、その点だけ「穴」が空いていて、別の場所に点があるグラフを想像してください。この場合、極限値は存在しますが、途切れているので「連続」とは言えません。

丸で囲んだ部分は、「穴が空いておらず、ピッタリ隙間が埋まっていること」を確認する最後の重要な仕上げです。

微分可能の定義もいまいちわからないので解説お願いします
＞「微分可能」の定義とは？
直感的には「グラフがその点で滑らかに繋がっていて、接線が1本に決まること」

極限が存在するためには、連続のときと同様に「右側から近づけた傾き」と「左側から近づけた傾き」が完全に一致する必要があります。

今回の問題の計算を見ると、
右側からの傾き (h →+0のとき +4
左側からの傾き (h →-0のとき -4

右から近づくと右上がり（傾き4）なのに、左から近づくと右下がり（傾き-4）になっています。これでは x＝2の地点で接線の傾きを1つに決めることができません。

グラフで見ると、右側の図のように x＝2で「トガった角（尖点）」になっているため、今回のようなf(x)は微分不可能となります🙇