私の現在の理解度を整理する。まず、接戦の方程式の立式は出来る。

数学

高校生

解決済み

約2ヶ月前

私の現在の理解度を整理する。
まず、接戦の方程式の立式は出来る。
次に、t>-1で実数解を持つことの理由もわかる。
詰まったところは、場合分け。
場合分けのやり方がわかりません。
解説お願いします。

=4 X3 EX x+3 x軸上の点(α, 0) から, 関数 y=- のグラフに接線が引けるとき, 定数αの値の範囲を求 √x+1 めよ。 ( 1 x+3 1.√x+1 -(x+3)・ HINT 関数 y= y' = 2√x+1__ x-1 √x+1 x+1 2(x+1)x+1 の定義域はx>-1であることに注意。 t+3 接点の座標をt, +1) (t-1) とすると, 接線の方程式は F t+3 t-1 七は実数 y- = (x-t) √t+1 2(t+1)t+1 Jet t+3 この直線が点 (α, 0) を通るとき t-1 = t+1 2(t+1)√t+1 (a-t) ←両辺に 2(t+1)√t+1 0= を掛ける。ゆえに -2(t+1)(t+3)=(t-1)(a-t) よって -2t2-8t-6-at-t²-a+t 整理して t2+(9+α)t+6-a=0 : A ...... 85 113, 17 しやすくなる。そして2次関数の最小問題へ。

166- 数学II 接線が引けるための条件は,t についての2次方程式 A が t>-1の範囲に実数解をもつことである。 ←接線が引ける⇔接点が存在する。したがって,f(t)=t+(9+α)t+6-α とすると [1]2つの解(重解を含む)がともに t> −1 の範囲にあるため a2+22a+57≧0 (a+19)(a+3)≧0 の条件は,f(t)=0の判別式をDとすると D≧0 ①, 軸>-1. ②, f(-1)>0 ③ ①から (9+a)2-4.1 (6-a)≥0 整理してよって D>0 ゆえに a≦-19-3≦a ...... ④ D=0 ②から 9+a-1 よってa<-7 ⑤ 2 ③から -2-2a 0 ④~⑥の共通範囲は a≤-19 ゆえに a<-1 ⑦ ...... ⑥ [2] 解の1つがt<-1, 他の解が-1<t の範囲にあるための条件はよって f(-1)<0 ゆえに -2-2a < 0 a>-1 (8) [3] 解の1つがt=-1のときは f(-1)=0 よって a=-1 このとき f(t)=t2+8t+7=(t+1)(t+7) ゆえに,f(t) = 0 は t> - 1 の範囲に解をもたず、不適。以上から, ⑦ ⑧ を合わせた範囲をとって a≦-19, -1 <a EX 放物線y=4x をCとする ④84 ・1 (1) 放物線Cの傾きの法線の方程式を求めよ。 (2)x軸上の点(α, 0) から放物線Cに法線が何本引けるか。ただし, α≠0 とする。 (1) y2=4x の両辺をxで微分すると 2yy'=4 2 よって, y=0のとき y' = y 放物線C上の点(x1, 1) (x0,y ≠0) におけるCの接線と 2 法線は直交するから •m=-1 すなわち2m 一方,y2=4x1 ***** ①が成り立つ。 ①にy=-2mを代入すると (-2m)². y=0のときは存在しない (x1,y1) 2=4r X

回答

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かき

約2ヶ月前

t > -1の範囲で実数解を持つときは、以下の2つの場合があるのはわかりますか？
⚫︎ケース1
1つの解が -1より大きく、もう1つの解が -1より小さいとき
⚫︎ケース2
2つの解（重解を含む）が、どちらも -1 より大きいとき

zhzhzhzzhzhzh 約2ヶ月前

変な勘違いをしていたかもしれないです。
t>-1で実数解を持つと言うのは、
少なくとも１つ実数解を
t>-1の範囲で持てば良いと言うことですね。
私は勝手に実数解の範囲がt>-1だから、
解１つが-1より大きくて(理解できる)
解1つが-1より小さい(どゆこと？🫪🫪🫪)
↑私はこの時t>-1だから何故tが-1より小さい範囲を考えないといけないの？と思っていました。
もし自分が誤解しているところがあったら教えて欲しいです🙇

かき約2ヶ月前

まず、話をしやすくするために、合わせたいと思いますが、
t > 1 ではなくて、t > -1 が条件です。

その上で、t > -1 の範囲で、f(t)=0 のtの2次方程式が実数解をもつ、という場合を考えます。
単に、f(t)=0 が実数解を持っても、それが t > -1 に入ってないと、求める場合とはなりません。

そこで、
一般的に2次方程式は、
①判別式D>0 → 異なる2つの実数解をもつ
②判別式D=0 → 1つの実数解(重解)をもつ
③判別式D<0 → 解なし (実数解をもたない)
ですね。
これに、さらに解の範囲 t > -1 の条件を加えて考える必要があります。

それは、
a. ①の場合で、2実解とも -1 より大　→ ok(求める場合)
b. ①の場合で、1つの解だけが -1 より大 (もう1つは -1以下) → ok (求める場合)
c. ①の場合で、2実解とも -1以下 → NG (求める場合ではない)
d. ②の場合で、重解が-1 より大　→ ok(求める場合)
e. ②の場合で、重解が-1 以下　→ NG (求める場合ではない)
f. ③の場合 → NG (求める場合ではない)
となります。
これより、a, b, d の場合を求めればよい。
aとd → 上のケース2
b → ケース1
です。

わかりますか？