Question

lim-cat

222です。別解を含めどのようにy=3が出てきたのですか？

15 [4プロセス数学C 問題222] B
直線 y=1に接し, x2 + (y+3)²=4と外接する円Cの中心Pの軌跡を求めよ。
146- -4プロセス数学C
a
逆に, 放物線 ①上のすべての見
条件を満たす。
したがって, 求める軌跡は
別解 円 C の半径をとする。 円
の中心 (10) をAとすると
Pと直線x=-2の距離はであ
r-1
線x=-1の距離は
222 点Pの座標を
1x (D) BIS
よって, 点Pは放物線 ①上に
(x,y)とする。 また,
円 x 2 + (y+3)2=4
の中心 (0, -3)を
1
H
y=1
O
P
x
Aとし, Pから直線
C
y=1に下ろした垂
線をPH とする。
A-3
PA-2=PH であ
S
(9)
るから
√x2+(y+3)2-2=1-y
すなわち
/x2+(y+3)2=3-y
OSS
両辺を2乗して整理すると
x2=12y
......
①
よって, 点Pは放物線 ①上にある。
224
逆に, 放物線 ①上のすべての点P(x, y) は,
条件を満たす。
|指針
したがって, 求める軌跡は 放物線x2=-12y
別解 円 C の半径を とする。
円 x 2 + ( y + 3)2=4の中心 (0, -3)をAとする
と
AP=r+2
Pと直線 y=1の距離はであるから, Pと直線
y=3の距離は
よって, 点Pは, 定点Aと定直線 y=3から等
距離にあるので, その軌跡は焦点が点 (0, -3),
準線が直線 y=3の放物線x2=4(-3)y である。
したがって, 求める軌跡は 放物線x2=12y
よって, 点Pは, 定点Aと定
「等距離にあるので,その軌跡は
準線が直線 x=-1の放物線y2
したがって, 求める軌跡は
線分ABの中点をMとし, 1
MM' を下ろす。このとき,
がABを直径とする円の半径
示す。
線分ABの中点をMと
する。このとき,Mは
AB を直径とする円の中
心である。 A, B, M か
ら放物線の準線に下ろし
た垂線をそれぞれ AA',
BB', MM' とする。
N

Answer 1

ブドウくん

「別解を含め」のニュアンスがちょっと分からないのですが、別解でy=3が出てきているのは、放物線の定義を利用して軌跡の式を簡単に求めるために、点Pからの距離がr+2になる定直線を意図的に作り出した結果です。AP=r+2であることから、PH=rですが、PHを延長して距離がr+2となるような線分PIを考えると、点Iは常にy=3上を動きます。つまり、y=1からの距離が常にrという条件を、y=3からの距離が常にr+2という条件にすり替えたとしても、IHは常に2であるから問題ありません。

ブドウくん

日本語が伝わりにくいと思ったので絵で書きました