Question

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確認問題の解き方を教えてください
解説を見ても範囲の決め方などが分かりません
簡単に解けるやり方か詳しい解き方を教えていただけると嬉しいです。

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7 2次関数の最大最小
※グラフが動く場合の最大、最小
2次関数y=-x+2ax-a の 0≦x≦1 における最大値が2となるときの
の値を求めよ。
< 摂南大〉
◆y=f(x) とおくと,この値
解
y=f(x)=-x+2ax-a とすると
=-(x-a)+α-a
まず, 平方完成する
を代入するとき楽である。
グラフは上に凸で,軸が x =α だから,次のように分類される。
(i) a < 0 のとき
(0≦a≦1のとき
(iii) 1 <α のとき
YA
-a
YA
O
α-1----
a
a²-a
O
(i), (ii),(血の頂
点の座標の
位置は正確でな
くてもい
(最大、最小を
とるこの値を
調べるイメージ
図なので)
軸が定義域の
軸が定義域の
左にある場合
内にある場合
軸が定義域の
右にある場合
最大値はf(0)=-a
-a=2よりa=-2
(α < 0 を満たす)
最大値はf(a) = α-a
α-a=2より
a=-1,2
最大値はf(1) =α-1
α-1=2よりα=3
(α > 1 を満たす)
(0≦a≦1 を満たさない)
以上より a = -2,3
(答)
◆確認問題-
2次関数y=x-4x+5(0≦x≦α) の最小値を求めよ。 また, 最大値 M を求めよ。
ただし, αは正の定数とする。

Answer 1

ととろ

y=x²-4x+5 を平方完成して軸と頂点を確認します
y=(x-2)²+1
下に凸なので、定義域の端(0またはa)のどちらかで最大値を取ります

0またはaのうち、軸から遠い方が最大値ですが、それはaによって変わるので場合分けします
(i) a＜2 の時
x=0 の方が軸から遠いのでここで最大値を取ります
(ii) a=2 の時
x=0 と x=a で同じ最大値を取ります
(iii) a＞2 の時
x=a で最大値を取ります
最大値はy=の式に最大値を取る時のxを代入して求めます