Question

ant

求解 除了一個一個寫出來之外有什麼漂亮的解法嗎

設一數列共有8項,q,a2,ds,..., as
則q+a2+as+…+ag的值共有
°
而其中的每一項均為-1,1或2這三種數值
種。
Ans

Answer 1

qn

全部都是 -1 時：-8
下一個最小的是
-1 × 7 + 1 = -6

接著，有沒有什麼系統化的方式
找到下一個最小的、可以加出來的數字

我們猜測，接下來每個整數（直到最大值2×8=16）
都可以被加出來

構造的方法是：
(i) 只要有一個數是1
把他變成2，就可以讓總和多1
(ii) 只要有一個 -1 和一個 2
把他們都變成 1，就可以讓總和多 1

依照這種操作，整個過程會是：
-6 = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + 1
-5 = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + 2
-4 = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + 1 + 1
-3 = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + 1 + 2
-2 = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + 2 + 2
-1 = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + 1 + 1 + 2
...
13 = (-1) + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
14 = 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
15 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
16 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

那為什麼可以保證中間可以一直這樣操作、不會中斷？
如果一開始有 x 個 (-1) 和 y 個 1
首先可以做 y 次操作 (i)
就會變成 x 個 (-1) 和 (8-x) 個 2
再來做 1 次操作 (ii)
就會變成 (x-1) 個 (-1) 和 2 個 1

可以發現
只要還有 1 存在
就可以「無條件升級」，總和+1
但只要 1 用完了，就需要把 (-1) 消耗掉
(不需要考慮 2 的消耗，因為 1 用完了就會出現新的 2)

除了從總和 -6 開始只用 1 個 1
(總共產生 -6, -5 兩種數字)
後面每次消耗一個 (-1) 就會多兩個 1 可以用

qn

(續)
每個循環：消耗(-1)，(ii) -> (i) -> (i)
總共可以消耗7次，每次產生3個數字
剛好可以從 -4 到 16

ant

那如果說把數字變成0,2,3會更好想嗎

qn

會吧
畢竟就沒有負數了
只是說原理還是一樣