✨ ベストアンサー ✨
1. なぜ2枚目の問題は単純に 3! で割れないのか？
空箱を許すかどうかで、状態の**「重複度（ダブりの数）」が変化してしまう**ためです。
空箱NGの場合（1枚目） 7個の球を「3つの空ではないグループ」に分けるため、3つのグループの中身は必ずすべて異なります。ここにA、B、Cの名前（区別）をつける方法は常に 3! （6通り）です。すべての状態が一律に6倍重複しているため、全体の総数を 3! で割れば正解が出ます。
空箱OKの場合（2枚目） 「7個・0個・0個」のように、空箱が複数できる分け方が発生します。「0個」のグループ同士は中身が全く同じ空集合であるため、区別がつきません。
計算が合わなくなる理由 「7個・0個・0個」のグループにA、B、Cの名前をつける方法は、「どの箱に7個入れるか」の3通りしかありません。全体の中に「6倍重複している状態」と「3倍しか重複していない状態」が混ざり合ってしまうため、一律に 3! で割ると、3倍しか重複していない状態まで余計に割りすぎてしまい計算が壊れます。
2. そもそもなぜ 3! で割るのか？（操作の意味）
場合の数における割り算は、**「区別をなくす（名前のラベルを剥がす）」**という物理的な意味を持った操作です。
割る ＝ 束ねる 1ダース（12個）の鉛筆を
12 ÷ 12 = 1 と計算するように、「ダブって数えているものを、1つのセットに束ねて数え直す」のが割り算の本来の役割です。
** 3! 通りのラベル貼り** 中身が全く同じ3つの箱でも、そこに「A、B、C」というラベルを貼ろうとすると、その貼り方の順番は
3 × 2 × 1 = 3! （6通り）存在してしまいます。
ラベルを剥がして現実に戻す つまり「 3! で割る」とは、A、B、Cという計算上のラベルによって人為的に生み出された6通りのダブりをキュッと1つに束ねて、元の「名無しの箱」の状態に戻すための操作なのです。
すごく腑に落ちました！ありがとうございます😭