Question

絶対合格

全く分からないです😢
0〜3って、面積が負ではないのでしょうか？また、3〜6も負だと思うので∮の前に−をつける必要があると思うのですが、違うのでしょうか？

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基本 例題 238 放物線と2接線の間の面積
00000
放物線 C: y=x4x+3上の点P (0, 3), Q(6, 15) における接線をそれぞれ、
mとする。この2つの接線と放物線で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
基本 236 237
指針 まず, 2 接線lの方程式と,l, mの交点のx座標を求め, グラフをかく
この交点のx座標を境に接線の方程式が変わるから,被積分関数も変わる。
・被積分関数は, (x-α) の形で表される。 よって、 定積分の計算では、
+α (Cは積分定数)を利用すると,かなりらくになる
重
fx-a)dx=
(x-α)
解答
y=x2-4x+3から
y'=2x-4
lの方程式は, y-3=(2-0-4)(x-0) から
mの方程式は,y-15=(2-6-4) (x-6) から
y=-4x+3
y=8x-33
lとの交点のx座標は, 4x+3=8x-33を解くと
<曲線y=f(x) 上の点
(α, f (a)) における接線の
方程式は
y-f(a) f'(a)(x-a)
S={(-4x+3)-(-4x+3)}dx
+S(4x+3)-(8x-33)dx
=Sxdx+S,(x-6)2dx
12x-36=0
よって、求めろうと見てから代
ゆえにx=3
つけないのかり
y
15
13
P
3
0
(x-6)3
横には
026
me
=9+9=18
16
曲線と接線の上下関係は
0≦x≦3では
x2-4x+3≧-4x+3
3≦x≦6では
x
までが対正し途中の
[参考 lとの交点をRとし、2点P Qを通る直線
x2-4x+3≧8x-33
◄√(x-a) dx= (x-a)"
f(x-α)
+C
3
ろび、上下関係がわ
とする。
15
また, Cとnで囲まれた部分の面積をS, とすると,求める面積
Sは
S=△PQR-S
R(3,-9), n:y=2x+3であるから
2-30
3
ST
3.
S=1/11/12(15-3)+(3-(-9)}]
2本の跡が
R
-692
-S{(2x+3)(x-4x+3)}dx
941
fridr=54+ (x(x-6)dx
ある
m
x

よって、求めるはこれつけん
面積Sは
1 S=S{(x²-4x+3)(-4x+3)}dx
+∫{(x-4x+3)-(8x-33)}dx
=Sxdx+(x-6)²dx
0
つぐないのかり
C
y
15
Q
しろも
13
P 3
0
6
.3 13
(x-6)3
76
横には
me
3
XC
3
=9+9=18
10~6
オスが正した
71-27

Answer 1

𓆡

結論から言うと、∫ の前にマイナスをつける必要はありません。現在の式のままで正解です。
​「グラフが x 軸より下にあるからマイナスをつける必要があるのではないか」という疑問は、面積の公式の形だけを暗記していることから生じる誤解だと思われます。
​面積を求める際の大原則は、グラフの位置が x 軸より上か下かに関わらず、常に「上の関数から下の関数を引く」ことです。
​以前学習したと思われる「 x 軸より下にある関数にマイナスをつける」という公式も、実はこの原則に従っています。上の関数である x 軸（y=0）から下の関数 f(x) を引いているため、∫ (0 - f(x)) dx = ∫ -f(x) dx となり、結果的に式の前にマイナスがついているように見えているだけです。
​今回の問題では、区間 0 ≦ x ≦ 3
（および 3 ≦ x ≦ 6）のいずれにおいても、上の関数（放物線）から下の関数（接線）を引く式がすでに正しく立てられています。したがって、このまま定積分の計算を行えば正の面積が求まります。

∫(上の関数(x)-下の関数(x))dxです。