Question

ズミ

この公式自体の証明の際に、
0＜x＜π/2、－π/2＜x＜0の場合についてしか証明してなくても、公式が成り立つのつ事が証明出来るのって何でですか？
例えばπ/2＜x＜πの範囲も成り立つかどうかわからないと思うのですが。
できれば、x＝0、π/2を含んでない理由もお願いします。

数学ⅲ

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

カナリア

ｘを限りなく0に近づける訳だから、ｘの近傍で証明できればよい感じです

ズミ

回答ありがとうございます！
では、範囲は0＜x＜πとかでも証明できるということですか？

カナリア

まず極限の存在を示すためにｘ→-0の時とｘ→+0の時の極限が一致することを示さなければいけません。従って0＜ｘ＜πとしてしまうと公式の証明としては不適切だと思います。

ズミ

それだけだと、－π＜X＜π(X＝０のぞく)以外の範囲でXが１に収束することは証明できないと思うのですが？

カナリア

ｘが0の近傍のときに1に収束するのであって
-π＜ｘ＜π以外の範囲は1に収束しません

ズミ

ということはこの公式は
－π/2＜X＜π/2以外では使えないということですね？

カナリア

公式の証明に出てくる不等式
cosｘ＜sinｘ/x＜1が-π/2＜ｘ＜π/2
x≠0でのみ成立します。

ズミ

わかりました。長々とありがとうございました。