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mod使っても解けるし不定方程式を使って解くこともできる
n=3a+1・・・①
n=5b+4・・・②
n=7c+2・・・③
とできるね
①②から3a+1=5b+4となりこれを解くと3(a-1)=5b
3と5は互いに素だからa-1は5の倍数、bは3の倍数だ
つまりkを整数とすると
a-1=5k⇔a=5k+1、b=3k
となる
②③から5b+4=7c+2となる。これは5(b-1)=7(c-1)と変形できる
実際b=c=1代入すると9=9になる
こういう特定の値を当てはめた解を特別解(=特殊解/特解)って言います
先程のように考えるとlを整数としてc-1=5l⇔c=5l+1、b-1=7l⇔b=7l+1となる
a=5k+1・・・④
b=3k・・・⑤
c=5l+1・・・⑥
b=7l+1・・・⑦
⑤⑦から3k=7l+1⇔3(k+2)=7(l+1)
特別解は(k,l)=(-2,-1)ですよ(本当は5と2にした方が後々楽だけどぱっと思い付いたのがこの値だったのでこのまま続けます)
mを整数とするとk+2=7m⇔k=7m-2、l+1=3m⇔l=3m-1
以上から④⑤⑥⑦をまとめると
a=5(7m-2)+1=35m-9
b=3(7m-2)=21m-6
c=5(3m-1)+1=15m-4
①②③に代入すると
n=3(35m-9)+1=105m-26
n=5(21m-6)+4=105m-26
n=7(15m-4)+2=105m-26
ここからnってのを105で割ると商はmで余りは-26ってのがわかりますが余りには範囲があるのでこのままではダメです
なのでmを少しいじりましょう
105m-26=105(m-1)+79とすると79という余りがでてきます
範囲内なのでこれが答えです
ちなみに5と2にしていたら105m+79となります
文字数の関係から合同式は別で書きます
疲れる～(´・ω・`)/~~
打ち間違い等あればいってくださーい
合同式をご存知なの前提ですすめます
n≡1(mod 3)・・・①
n≡4(mod 5)・・・②
n≡2(mod 7)・・・③
①よりkを整数としてn=3k+1とあらわせます
これを使うと②は3k+1≡4(mod 5)⇔3k≡3(mod 5)⇔k≡1(mod 5)となりますね
よってn
≡3*1+1(mod 3*5)
≡4(mod 15)
なのでlを整数とするとn=15l+4となりますね
これを使うと③は
15l+4≡2(mod 7)⇔15l≡-2(mod 7)⇔l≡-2(mod 7)
ここのとこわかりますかね？
7*2=14なので15lの15は7*2だけ除けるわけですよ余り0なんで
なのでlとなります
よってn
≡15*(-2)+4(mod 15*7)
≡-26(mod 105)
≡79(mod 105)
となる
すいません
合同式の説明が途中から話がちゃんちゃらおかしくなってることに気づいたため書き直しました
分かりやすく解説していただき本当にありがとうございます！おかげで解けました。
ありがとうございます。どちらのやり方も解説していただけるととても嬉しいです。