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√2²=2,√(-2)²=2
であることは分かりますでしょうか。
ここで気を付けてほしいのは、√(-2)²=-2ではないことです。
√〇という数は、√の前にマイナスがついていない限りマイナスにならないということです。
では√x²はどうでしょうか。
√x²=x と思われるかもしれませんが、違います。
もしxがマイナスの数字(例えば-2)だったとき、√(-2)²=-2となってしまうのです。
だから、xが0以上と0より小さいときで場合分けが必要なんです。
そこで、x≧0のとき、√x²=x、x<0のとき、√x²=-xとしなければならないんです。
では写真の問題。
(1)x≧1のとき、x-1≧0なので、√(x-1)²はそのまま√と2乗をとって、x-1
x<1のとき、x-1<0なので、√(x-1)²はマイナスをつけて、-(x-1)
とします。
これ以降は上記のことが理解できればまたご返答します。
言葉足らずでした。
√x²=x と思われるかもしれませんが、違います。
『もしこの式が成り立つとしてしまうと』xがマイナスの数字(例えば-2)だったとき、√(-2)²=-2となってしまうのです。
ではどうすればよかったのかというと、xがマイナスの数字だったとき、√x²=-xとしなければならないということです。
なんとなく分かったのですが、√の中にマイナスの数字が入るというのが想像しにくいです…。
√-2というのは2乗したら-2になる数字ということですよね。
けどそう考えると一行目の話と矛盾してしまいます。
考えれば考えるほどわからなくなります…
(√-2)² と √(-2)² とは別物です。
前者は(√-2)×(√-2)=-2
後者は√(-2×-2)=√4=√(2×2)=2
となります。
ではこう考えてはいかがでしょうか。
√の中がマイナスの数字の二乗になっている場合、ルートと2乗を外した時、マイナスをつけるのです。
√(-2)²＝-(-2)=2
こう考えると、
√x²⇒(xが負の数の場合)=-x
と表せるのです。
いかがでしょうか。
こんな最初のところで何度も返信していただいて申し訳ないです。
やっとなんとなくですが理解できました
3の(1)は分かりました！
いえ、こちらもつたない説明で申し訳ないです。
でも疑問に思うことをぶつけていただくと、あなたも私も理解が深まるので、良いことだと思いますよ。
では3(2)ですが、ここまでお話ししている通り、『ルートの中がマイナスになれば、ルートを取るときにマイナスをつける』ことで統一します。
-1≦x<1のとき、x+1≧0,x-1<0ですので、
与式=√(x+1)²-√(x-1)²
=x+1--(x-1)
=x+1+x-1
=2x
となります。
間違っているところがあったら言っていただけると助かります
いいですよ。あってます
4は何か工夫して計算できたりするのでしょうか？
教科書の問題ということもあって答えしか載ってませんでした。
では４。
1/xは、x=(3-√5)/2 を逆数にします。
1/x=2/(3-√5)
ここで、分母分子に3+√5をかけて、有理化します。
分子…2×(3+√5)=6+2√5
分母…(3-√5)(3+√5)=9-5=4
よって、1/x=(3+√5)/2
あとは、x+1/xをしてください。
(2)からは、工夫します。
x²+1/x²=(x+1/x)²-2 と平方完成して求めます。
(3)
x²-1/x²=(x+1/x)(x-1/x)と因数分解します。
また、x-1/xはxと1/xが求まっていますので、わかります。
(4)
x⁴+1/x⁴=(x²+1/x²)²-2 と平方完成します。
(5)
x⁴-1/x⁴=(x²+1/x²)(x²-1/x²) と因数分解します。
回答ありがとうございます。
一行目で√(-2)の二乗=2とゆうのは分かったのですが、途中(七行目)で同じ式なのに答えが-になるのはなぜですか？