Question

ヘルメス

( 2 )と( 3 )が分かりません。解き方も含め、教えてくださると助かります。よろしくお願いします。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

@Ganymede＋

【解答例】88
(2) 単振動の振幅は、つり合いの位置から手を離した位置(ばねの自然長での位置)に相当するので、x0

最下点は、ばねの自然長での位置から考えると振幅の2倍なので、(単振動の端から端)

L = 2 * x0

(3)
重力がおもりにした仕事 Wg は、
Wg = mg * x0

ばねの弾性エネルギーの減少分だけ、ばねはおもりに仕事をする。
(ばねの弾性エネルギーの変化量)
= 0 - (1/2 * k * x0^2)
= - (1/2 * k * x0^2)

1/2 * k * x0^2 だけ減少したので、

Ws は、
Ws = 1/2 * k * x0^2 = 1/2 * (mg / x0) * x0^2 ( (1)より)
∴ Ws = 1/2 * mg * x0

※弾性力 -kx をxで積分しても仕事は求まる。
( 積分区間 [x0,0] として)

Wg と Ws の和は、
Wg + Ws
= mg * x0 + 1/2 * mg * x0
= 3/2 × mg × x0

であるが、これはばねが自然の長さのときに蓄えていた弾性エネルギーと重力による位置エネルギーの総和、
すなわち、ばねが自然の長さのときのおもりの位置エネルギーに相当する。
(つり合いの位置を位置エネルギーの基準として)

ヘルメス

ありがとうございます！！とても、分かりやすかったです！ところで、( 3 )のWsはマイナスをつけなくてもいいんですか？

@Ganymede＋

ばねが自然長のとき、鉛直下向きに弾性力を受けていて、
おもりを下向きに動かしていくので、
Ws > 0 になります。
(移動する方向に力を加えている)

ばねの弾性エネルギーはばねが伸びるため減ります。( < 0 )
その減った分でおもりは仕事をされます。( Ws > 0 )

【補足】
積分を使わないと上記のように符合を考えます。
ためしに積分で仕事を求めてみると、
※力を位置で積分すると仕事になります。

Ws
= ∫[x0→0] ｛-kx｝dx
= [ - 1/2 * k * x^2 ] [x0→0]
= 0 - ｛ - 1/2 * k * (x0)^2 ｝
= 1/2 * k * (x0)^2 > 0

となります。

【ハイレベル】(大学レベル、読み飛ばし推奨)
力を位置で積分すると仕事と書きましたが、正確には力のベクトルと微小線分要素のベクトルの内積を積分します。(線積分)

ヘルメス

細かい所まで教えて頂き、ありがとうございます！！とても、分かりやすかったです。