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x=1 のときに最小値をとるとは限りません
例えば a=1/3 のとき
f(1)=0
f(2)=2/3-log2=0.666⋯-0.693⋯<0
となります(ちなみに最小値はf(3/2)です)
これは場合分けですね。少し大変かもしれません
最小値を求めたいのでとりあえず微分します
f'(x)=2ax+(2a-1)-1/x
=(2ax²+(2a-1)x-1)/x
=(2ax-1)(x+1)/x
1≦x≦2 において、(x+1)/x>0 なので、f'(x) の符号は 2ax-1 の符号で決まります
ここで場合分けが発生します
2ax-1=0 ⇔ x=1/2a
なので、定義域 1≦x≦2 に対して 1/2a がどこにあるかで答えが変わります
(i)1/2a≦1 すなわち a≧1/2 のとき
1≦x≦2 において、つねに
2ax-1≧0
∴f'(x)≧0
なので、f(x)は単調増加。よって最小値は
f(1)=3a-1
(ii)1<1/2a≦2 すなわち 1/4≦a<1/2 のとき
増減表は以下のようになります
x | 1 ⋯ 1/2a ⋯ 2
f'(x) | － 0 ＋
f(x) | ↘︎ f(1/2a) ↗︎
よって最小値は
f(1/2a)=1-1/4a+log(2a)
(iii)1/2a>2 すなわち a<1/4 のとき
1≦x≦2 において、つねに
2ax-1<0
∴f'(x)<0
なので、f(x)は単調減少。よって最小値は
f(2)=8a-2-log2
以上より、
[ 8a-2-log2 (a<1/4)
m(a)=[ 1-1/4a+log(2a) (1/4≦a<1/2)
[ 3a-1 (a≧1/2)
もう一度頑張って 解いて見たのですが
出来ませんでした
詳解を教えくれませんか？