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けっこう場合分けが必要になりますねえ⋯
(4^x-a⁴)(2^x-a)≧0 より、
{(2^x)²-(a²)²}(2^x-a)≧0
(2^x+a²)(2^x-a²)(2^x-a)≧0
ここで、a²≧0, 2^x>0 ですから
2^x+a²≧2^x>0
したがって、元の不等式の両辺を 2^x+a² で割ると
(2^x-a²)(2^x-a)≧0⋯①
ここで、aとa²との大小関係によってこのあとの答えが変わってくるため、場合分けが必要になります
a<a² ⇔ a<0, 1<a
a=a² ⇔ a=0,1
a>a² ⇔ 0<a<1
なので、この３つを軸に場合分けします
(i)a<0, 1<a のとき
a<a² なので、①より
2^x≦a, a²≦2^x⋯②
このあと対数をとるわけですが、ここでもaの正負によって結果が変わってくるので場合分けが必要です
(i-1)a<0 のとき
2^x≦a は成り立たないので、②より
2^x≧a²
底が2の対数をとると
x≧log₂(a²)
=log₂(-a)²
=2log₂(-a)
(注 a<0 なので 2log₂a とは書けない)
(i-2)a>1 のとき
②において、底が2の対数をとると
x≦log₂a, log₂(a²)≦x
x≦log₂a, 2log₂a≦x
(ii)a=0,1 のとき
a=a² なので、①より
(2^x-a)²≧0
よって、解はすべての実数x
(iii)0<a<1 のとき
a>a² なので、①より
2^x≦a², a≦2^x
底が2の対数をとると
x≦log₂(a²), log₂a≦x
x≦2log₂a, log₂a≦x
以上(i-1)(i-2)(ii)(iii)より、
a<0 のとき、x≧2log₂(-a)
a=0,1 のとき、すべての実数
0<a<1 のとき、x≦2log₂a, log₂a≦x
a>1 のとき、x≦log₂a, 2log₂a≦x
とてもわかりやすく、見やすくありがとうございます😭