Question

R

支給お願いします。この問題の解き方を教えてください。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

１つの対角線の長さを2x(x>0)とおくと、もう１つの対角線の長さは 6-2x

ひし形の対角線は垂直に交わるので、ひし形の一辺の長さは
√{x²+(3-x)²}
よって周の長さℓは
ℓ=4√{x²+(3-x)²}
です

あとはℓが最大となるとき√の中身も最大になることを利用すればいいです

R

最後の2行を、もっと詳しく教えてください！

R

理解力が乏しく申し訳ございません

gößt

そういえば最小と書くべきところを最大と書いてしまっていました

ℓ=4√{x²+(3-x)²} なので、
ℓが最小 ⇔ x²+(3-x)²が最小
となります。よって、二次関数
y=x²+(3-x)²
の最小値を調べます

ただし、xの範囲に制限がつくところに注意しましょう。対角線の長さは正でないといけないので、
2x>0, 6-2x>0
よって
0<x<3
あとはこの範囲で y=x²+(3-x)² の最小値を求めましょう

R

直接質問してしまい申し訳ありません。この問題の解説をよろしくお願いします。答えて頂けたら幸いです

gößt

これはけっこう大変ですね

不等式を変形すると
(x-a/2){x-(3a-2)}<0
となりますがこのままだとどうしようもないので a/2 と 3a-2 の大小関係で場合分けをします

(i) a/2<3a-2 つまり a>4/5 のとき
不等式を解くと
a/2 < x < 3a-2 ⋯ ①
この式を満たす整数解をn, n+1, n+2とおくと
n-1 ≦ a/2 < n かつ n+2 < 3a-2 ≦ n+3
となるので、
(n+2)-n < (3a-2)-a/2 ≦ (n+3)-(n-1)
2 < (5/2)a-2 ≦ 4
8/5 < a ≦ 12/5
が成り立っていなければなりません
このとき、
4/5 < a/2 ≦ 6/5 かつ 14/5 < 3a-2 ≦ 26/5
なので、不等式①を満たす整数解は
(1,2,3), (2,3,4)
に絞られます

(i-1) ①の整数解が1,2,3のとき
0 ≦ a/2 < 1 かつ 3 < 3a-2 ≦ 4
なので
5/3 < a < 2
(i-2) ①の整数解が2,3,4のとき
1 ≦ a/2 < 2 かつ 4 < 3a-2 ≦ 5
なので
2 < a ≦ 7/3
以上より、不等式①の整数解が３つになるのは
5/3 < a < 2 または 2 < a ≦ 7/3

(ii) a/2=3a-2 つまり a=4/5 のとき
問いの不等式は解なしなので、条件を満たすaもないです

(iii) a/2>3a-2 つまり 0<a<4/5 のとき
(i)とやり方は同じなのでご自分でチャレンジしてみてください

gößt

また、グラフを考えると元の不等式の解というのは二直線 x=a/2, x=3a-2 に挟まれた部分なので、この部分に格子点が３つあるような条件を考えていると捉えることもできます。解く上で参考にしながら考えていくといいかもしれません

R

質問なのですが写真の一番上の式になった理由が分かりません。詳しく教えてくださるとありがたいです

gößt

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n-1 ª/₂ n n+2 3a-2 n+3

↑こんな感じの位置関係になっているので、
(n~n+2間のはば)
< (a/2~3a-2間のはば)
≦ (n-1~n+3間のはば)
という式が成り立つのです

R

回答ありがとうございます。もう一つだけ質問させてください。写真の式はどこに8/5<a<=12/5を代入したのですか？解説お願いします

gößt

不等式変形では、すでに得られた式(今は 8/5<a≦12/5)からスタートして不等式評価したい変数(a/2や3a-2)などを作り出すという手がよく使われます

まず、8/5<a≦12/5 の各辺を2で割って
4/5 < a/2 ≦ 6/5
となります

また、8/5<a≦12/5 の各辺に3をかけて
24/5 < 3a ≦ 36/5
各辺から2を引いて
14/5 < 3a-2 ≦ 26/5
となります

R

長い間ありがとうありがとうございました😊助かりました

gößt

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