f(x)=x^2+2mx+2m+3 のグラフを考えたときに、このグラフがx軸に交わったり、接したりしなければ、与えられた不等式を満たすことになると思います。
よって、f(x)=0の方程式は実数解を持たないことが条件になるので、判別式D<0が出てきていると思います。
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