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実際の問題(直線や円の方程式を求めるなど)でこの証明が使えることはあまり多くはありません。
むしろ、図形の証明を他の単元の知識を使って行っていると考えるとよいでしょう。
サーモンさんのおっしゃる証明とは、重心の座標の求め方や、中線定理の証明の問題などのことでしょうか？
例えば、中線定理の証明は、高校数学では主に図形と計量(数学I)、図形と方程式(数学II)、平面上のベクトル(数学B)の3種類の証明方法があります。
よって、今回の座標を利用した証明の問題は、ある点を原点にして、図形が対称的な位置にくるように設定することで、その原点からの相対的な位置を座標を使って表現できるというメリットを利用しているのです。
むしろ、この単元に特化した証明方法なので、この場面でしか使いません。
図形の証明はほとんどが数学Aの図形の性質の単元の知識を使います。
ベクトルの考え方は座標平面でも応用できるので、実質はベクトル、図形と方程式は同じ枠組みと考えてください。
なので、図形の証明で、ベクトルや座標平面でしかできない証明は私の知る限りでは思いつきませんね。
むしろ、証明の方法はたくさんあるので、ご自身で調べてみるのもおもしろいかと思います。
数学IIの式と証明に出てくる相加平均・相乗平均の不等式の証明も3種類の証明方法がありますよ。
分かりました、詳しく教えていただきありがとうございました！
図形の証明の時に ベクトルでしか解けないとか座標を利用するしか解けないという限定的な問題はありますか？