Question

ゲスト

教えてください！！

ヶミ0のとき不等式 すす信 =ヶを証明せよ.

Answer 1

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チャート

f(x) = 1/3 x^3 −x +2/3 とおき、x≧0の範囲で、
f(x)≧0 となることを示しも証明することができます。

f'(x)= x^2 −1
x≧0の範囲で f'(x)=0 となるのは、x=1 なので、
このとき、f(x)は極小値かつ最小値をとります。
(増減表は省略)
f(1)=0なので、x≧0の範囲で f(x)≧0
よって、1/3 x^3 + 2/3 ≧ x が示された。

Answer 2

だーーいち

(左辺)=1/3 x^3+1/3+1/3
x≧0より全ての項が正だから相加・相乗平均の不等式より
1/3 x^3+1/3+1/3≧3× (1/27x^3)^(1/3)=x
よって題意は示された

微分を使わないエレガントな方法です

Answer 3

ぽきー

x≧0において
y＝1/3 x^3＋2/3の最小値がy＝x以上になっていれば全体の不等式が成り立つことがわかるので
まずは左辺をy＝〜の関数と見立ててx≧0における最小値を求めてみましょう。