✨ ベストアンサー ✨
二次体は詳しくないので筋の悪い解き方かもしれませんが…
かっこが多いと見づらいので √(-5) は √-5 と書きます
a, b, c, d は整数なので
ac-5bd=2019 かつ ad+bc=0
⇔ (ac-5bd)＋(ad+bc)√-5＝2019
⇔ (a+b√-5)(c+d√-5)＝2019 ⋯ ①
両辺に a-b√-5 をかけると
(a²+5b²)(c+d√-5)＝2019(a-b√-5)
2019/(a²+5b²)=m/n (m,nは互いに素) とおくと
c+d√-5＝(m/n)(a-b√-5)
c＝ma/n, d＝-mb/n
m,nは互いに素だったので、nはaとbの公約数です
a＝nx, b＝ny
とおけば
c+d√-5＝m(x-y√-5) ⋯ ②
①に②を代入すると
n(x+y√-5)•m(x-y√-5)＝2019
mn(x²+5y²)＝3•673
m, n, x²+5y² は整数かつ x²+5y²≧0 なので、
x²+5y²＝1, 3, 673, 2019
合同式などを使うと、x,yが整数のとき x²+5y² は4で割った余りが0か1か2, 5で割った余りが0か1か4と分かります。よって
x²+5y²＝1
x＝±1, y＝0
y=0 ということは結局 b=d=0 なので、
ac＝2019
を満たす整数 a,c を求めればよいです。a≧0 より
(a,b,c,d)
＝(1,0,2019,0), (3,0,673,0), (673,0,3,0), (2019,0,1,0)
あってるんですかねえ…
あっててよかったです(｀・ω・´)
なるほど自作とはすごいですね
文面から数学できる人のにおいがします
あってます！
尊敬します。