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ア
(p,q)は円上の点なので、
円(p-5)²+(q-5)²=1
これは、中心(5,5),半径1の円を表す。
q/p=kとおくと、q=kpとなる。
p,qの関数と考えると、これは原点を通る直線を表す。
円(p-5)²+(q-5)²=1と直線q=kpが接する時、
kは最大最小を取ることを利用します。
kp-q=0と、中心(5,5)との距離が半径1になればいいので、
この円と直線の距離は、
|5k-5|/√(k²+1)=1
2乗して、整理すると
12k²-25k+12=0
→ k=4/3,3/4
よって、最大値は、4/3となる。
イ
(p-q)/(p+q)=t とおく。
アのようにp,qの関数と考えると、
(t+1)q=-(t-1)p
t=-1の時、p=0となり、pは円上にないから不適。
t=1の時、q=0となり、qは円上にないから不適。
これらより、t≠±1より、
q=-(t-1)/(t+1)p これは原点を通る直線である。
これと円が交点を持つ時、
3/4≦-(t-1)/(t+1)≦4/3 になればいい。
全てに-12(t+1)をかけると、
t+1>0のとき、
-16(t+1)≦12(t-1)≦-9(t+1)
→ 16t+16≦12t-12≦9t+9
→ -1/7≦t≦1/7
t-1<0のとき、
-9(t+1)≦12(t-1)≦-16(t+1)
→ -9t-9≦12t-12≦-16t-16
→ 共通の範囲なし
よって、-1/7≦(p-q)/(p+q)≦1/7 より
最大値は1/7
