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無理数というのは実数であって有理数ではないものです. つまり√7∊Rかつ√7≠b/a [a,bは互いに素な整数].
有理数の分子と分母が整数なので, これと最初に与えられた命題を繋ごうというのが, 次の糸口になります.
二乗(m^2)を作るために(√7)^2=(b/a)^2をb^2=7a^2とします.
命題によればm^2が7の倍数ならばmは7の倍数である.
上で得られた関係だとb^2が7の倍数なのでbは7の倍数となります.
bが7の倍数ならb^2は7*7の倍数です. b^2=7a^2ですから7a^2が7*7の倍数である. これはa^2が7の倍数であることと同値です.
もう一度命題を適用すれば, a^2が7の倍数ならaは7の倍数だということが分かります.
しかしaとbは互いに素なので, どちらも7の倍数になることはありません.
したがって有理数ではない, つまり無理数であるという結論に達します.
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[解答例]
√7が有理数であると仮定する. すなわち互いに素なら整数a, bをとって√7=b/aと書けるとする.
両辺を2乗することでb^2=7a^2という関係式を得るが, これはb^2が7の倍数であることを意味する.
問題文に与えられた事実からbは7の倍数である. このときb^2は7*7の倍数となるので, a^2は7の倍数であることが必要である.
同様にa^2が7の倍数ならaも7の倍数となるが, 仮定からaとbは互いに素なので, aとbが同時に7の倍数になることはない.
したがって√7は無理数である.
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定石がどのようにして生まれたのかも理解しましょう.
分かりました！丁寧にありがとうございます😊