✨ ベストアンサー ✨
いろいろやり方があります.
***
(i)mをxの関数と見る方法
***
x=0のとき, x^2+2mx+1≧0は常に満たされる.
0<x≦2のとき, x^2+2mx+1≧0⇔2mx≧-x^2-1⇔m≧-(1/2)(x+1/x)
ここでx>0なので相加・相乗平均の関係からx+(1/x)≧2√{x*(1/x)}=2が成り立ち, 等号成立のx=1は0<x≦2の範囲内にあるので,
m≧-(1/2)*2=-1
すなわちm≧-1の範囲であればよい.
***
(ii)不等式だけで解決する方法
***
m≧0のとき
0≦x≦2ではx^2≧0, mx≧0なのでx^2+2mx+1≧1>0で常に成り立つ.
m<0のとき
x^2+2mx+1≧0⇔(x+m)^2-(m^2-1)≧0
(x+m)^2≧0なので-(m^2-1)≧0⇔(m-1)(m+1)≦0[m-1<0であることに注意]⇔-1≦m<0であればxに関わらず常に成り立つ.
m<-1のとき, x=1のとき1^2+2m+1=2(1+m)<0となるので不合理である[反例が一つあれば不適です].
以上から条件を満たすためにはm≧-1であればよい.
***
(iii)解の分離
f(x)=x^2+2mx+1=(x+m)^2-m^2+1と置く. f(x)は(-m, 1-m^2)を頂点とする下に凸な2次関数である.
0≦x≦2でf(x)≧0が成り立つためには,
頂点が0≦x≦2の範囲にある時, 0≦-m≦2のとき1-m^2≧0
頂点が0≦x≦2の範囲にない時, 関数は単調なのでmin(f(0),f(2))≧0
であればよい.
これを解くと
-2≦m≦0のとき, (1-m)(1+m)≧0[1≦1-m≦3に注意]⇔1+m≦0⇔m≧-1. すなわち-1≦m≦0ならば不等式は満たされる.
m<-2, 0<mのとき, min(1, 4+5m)≧0⇔4+5m≧0. m<-2のとき4+5m<-3なので不合理. m>0のときは4+5m>0なので常に満たされる.
以上からm≧-1の範囲であればよい.
