Question

あけぼの

この問題を教えてください

例題① ヵは自然数とする。れ, 4十2,ヵ4 がすべて素雪であるのは ヵニ3 の場合だけ
であることを示せ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

1は素数ではないのでn≠1です.
次にnが偶数ならn, n+2, n+4すべてが偶数になることに気付くと思います.
したがってnは少なくとも奇数だと分かります. 次にn=3, 5, 7…でどのような素数でない数があらわれるのか観察してみます.
n=3 -> 3, 5, 7で確かにすべて素数です.
n=5 -> 5, 7, 9で9が3の倍数です
n=7 -> 7, 9, 11で9が3の倍数です.
n=9 -> 9, 11, 13で9が3の倍数です.
というわけで, nが3より大きい奇数の場合は3の倍数があらわれると予想できます.
***
[解答例]
n=1のとき, nは素数ではないので条件に反する. n=2のとき, n+2とn+4は素数ではないので条件に反する.
n≧4のとき, nは3で割った余りで分類できる. すなわち適当な自然数mをとって3m+1, 3m+2, 3(m+1)と書くことが出来る.
n=3m+1のとき, n+2=3(m+1)となるので素数ではない.
n=3m+2のとき, n+4=3(m+2)となるので素数ではない.
n=3(m+1)のときn=3(m+1)となるので素数ではない.
したがってnが4以上の時, 条件を満たすことはできない.
n=3のとき, n=3, n+2=5,n+4=7とすべて素数なので条件を満たす.
以上からnが自然数でn, n+2, n+4がすべて素数となるのはn=3の場合に限られる.

あけぼの

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