✨ ベストアンサー ✨
おそらく質問者様は既に回答してくださっているお2人の言ってる内容(帰納法の仕組み)は質問を投稿した時点で理解していたのだと思います。
数学的帰納法を使った等式の証明ならおそらく自力で解けるレベルなのでしょう。
等式の証明は仮定した式(n=kの時の式)から示したい式(n=k+1の時の式)を直接作れました。
ですが今回のような数学的帰納法を使った不等式の証明は仮定した不等式(n=kの時の不等式)から示したい不等式(n=k+1の時の不等式)を直接は作れません。
よって仮定した不等式(n=kの時の不等式)と「もう１つの不等式(私は理想の不等式やら仲介の式やら呼んでいますが)」を使って示したい不等式(n=k+1の時の不等式)を証明します。
質問者様が疑問に思った不等式がまさにこの
n=k+1の時の不等式を証明するのに必要な「もう１つの不等式(理想の不等式、仲介の式)」です。
問題は違いますが同じ数学的帰納法を用いた不等式の証明の問題の解答解説を載せておきます。1番下のオレンジの部分が不等式の証明の時のコツです。
「なぜこの不等式を証明しないといけないのか！」という疑問は数学的帰納法の問題をかなり解くまでは出てきて当たり前の疑問ですので心配しないでください。
また宣伝になってしまい心苦しいのですが、宜しければ私の公開ノートに「数学的帰納法」の説明のノートがあるので参考にしていただけると理解しやすいかと思います。
ありがとうございますっ！！そういうことです！分かりやすくありがとうございました！