Question

いちご

教えてください、お願いします！

1123 についての異なる 2 つの2 光2
ァ*十6x十の三0 …… ②がただ1つ ま
(1) その共通解を求めよ。

(3) ①, ② のもう 1 つの解は

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

鹿

(1) 求める共通解をαとする。①、②にそれぞれ代入すると
α²+aα+b=0
α²+bα+a=0
辺々引くと
(a-b)α+b-a=0 ↔︎ (a-b)α=a-b
条件より a≠bなので α=1

(2)
(1)から、与式に共通解x=1を代入して
1+a+b=0 ↔︎ a+b=-1
さらに、a≠bかつa≠-1/2、b≠-1/2

(3)
(2)より、a=-b-1を①に代入すると
x²-(b+1)x+b=0 ↔︎ (x-1)(x-b)=0 ↔︎ x=1,b
同様に、b=-a-1を②に代入すると
x²-(a-1)x+a=0 ↔︎ (x-1)(x-a)=0 ↔︎ x=1,a
よって、①、②のもう1つの解はそれぞれb,aである

何か抜けていればすみません

いちご

(a-b)α+b-a=0 ↔︎ (a-b)α=a-b
条件より a≠bなので α=1で、なぜα=1になるんですか？
a≠bかつa≠-1/2、b≠-1/2でなぜ−1/2になるんですか？
すみません、何も分からなくて💦

鹿

(I)
a-b=0 すなわち a=b だった場合、0で両辺を割ることになりそれは不可能です
a≠bすなわちa-b≠0であることを言っておけば、両辺をa-bで割れるので α=1 が導けます

(II)
解を代入することで1つ目の条件、a+b=-1を導けました。ただし(1)からa≠bという制約があると分かっているので、aが-1/2だった場合bも-1/2になりこれはa=bとなってしまい不適です(逆の場合も同じ)
よって、aもbも-1/2という値は取れません

いちご

何度もすみません
(2)で、なぜすぐに−1/2と分かったんですか？地道に考えるしか無いですか？
あと、解答を見るとb=−a−1,a≠−1/2と書いてあったんですが、鹿さんのは「かつ」などが書かれていて、そこはどのようにして書いたらいいのか分かりません。

鹿

a+b=-1においてa=bのときなので代入すれば 2a=-1 ↔︎ a=-1/2 と分かります
この場合を除くので、結果的には a≠-1/2 です

解答は a+b=-1 でa≠bのときの値を除く意味で示しました。
「かつ」と書くと分かりにくい書き方になってしまったのは申し訳ないです

なので、解答のように b=-a-1、 a≠-1/2
だと、a≠bもb≠-1/2も含まれるので最も簡潔です
ただa≠bやb≠-1/2を書いていても間違いにはならないと思います

いちご

本当にありがとうございます！
凄く分かりやすかったです！
分からなければ、また質問させて頂きます💦