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証明の方針です。
① まずは始点をひとつに決めましょう。今回は点Aを始点とします。ABベクトルをbベクトル、ACベクトルをcベクトルとおくことにします。
② 内分点と外分点の公式から、点P、点Q、点Rの位置ベクトルをbベクトルとcベクトルだけで全て表せるはずです。
③ ②が出来たら、3点P、Q、Rが一直線上にあるということで、PQベクトル=k×PRベクトル（kは実数）を示せば良いです。
あとは、PQ:QRを求める問題ですが、問題文で与えられた情報の十分さと図形の見た目から、メネラウスの定理で求められると思います。
ぜひ、参考にしてやってみて下さい。
（追記）
とにかくベクトルの問題をとく上では始点をどこかに合わせるということが重要です。指数・対数で底を合わせるということと似てますね。別々なものだと思えるものでも、それらの中でなにか共通な事柄を見つけて共通点を持たせてやることで解答への道筋が見えてきます。なので、問題を沢山解いて、こういった数学的思考を磨いていって下さい。