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数列の一般項をa(n)と表しますね。（f(x)みたいな書き方と思ってください。）
(1)の答え a(n)=2a(n-1)+1 より
両辺に1を加えて、右辺を2でくくると
a(n)+1 = 2{a(n-1)+1} -①
b(n) = a(n)+1 と置くと①は、
b(n) = 2b(n-1) -②
となる。
このとき、②の式をnの値を下げながら繰り返し適用すると、以下のようになるのはわかりますか？
b(n) = 2b(n-1)
= 2・2b(n-2)
= 2・2・2b(n-3)
= 2・2・2・2b(n-4)
（以下、繰り返し）
ここが分かるのでしたら、nが一つ下がる毎に、係数の2が一つ増える関係になることもわかるかと思います。
元の解答では、n-1 → 1 まで数字を下げているので、
n-1 → 2が1つ
n-2 → 2が2つ
n-3 → 2が3つ
・・・・
n-(n-2) → 2が(n-2)つ ：n-(n-2) = 2
n-(n-1) → 2が(n-1)つ ：n-(n-1) = 1
という形で、n-1回繰り返しています。
従って、2の(n-1)乗が係数となり、b(n) = 2の(n-1)乗×b(1) が導かれます。
b(n) = a(n)+1 で戻してやれば、答えの形になるかと思います。
途中で不明な点があれば、遠慮なくご質問ください。
よかったですね。
ついでに、よくある応用パタンとしては、
a(n) -a(n-1) = 1 という漸化式から、以下のように式を並べ、
a(n-1)-a(n-2) = 1 上から下までばっさり足すと、上下の式で項が打ち消しあって
a(n-2)-a(n-3) = 1 一気にa(n)にできます。
a(n-3)-a(n-4) = 1
・・・・・
a(3) - a(2) = 1
a(2) - a(1) = 1
-------------------
a(n) - a(1) = n
同様に掛け算パタン(今回の問題は、こちらでもできる）
上から下まで、ばっさり掛け算すると、上下の式で打ち消しあって一気にb(n)になります。
b(n)/b(n-1) = 2
b(n-1)/b(n-2) = 2
b(n-2)/b(n-3) = 2
b(n-3)/b(n-4) = 2
・・・・・
b(3)/b(2) = 2
b(2)/b(1) = 2
-------------------
b(n)/b(1) = 2の(n-1)乗
ご参考まで。
ありがとうございます！
すごくわかりました！！
2のn−1乗になる部分わかりました！
ありがとうございました！！