Question

藍

195の接点の座標の求め方が分かりません。なぜ接点のx座標は③の重解なのですか？また、なぜ③の重解が2枚目の式で求められるのか分かりません。

STEP<及>

でトッjー25 と直線 3オル が共有点をもつとき, 定数をの値の笠囲を
求めよ。また接するときのんの値と接点の座標を求めよ。

 

 

 

 

 

195

 

 

196 次の円と直線の共有点の個数は, 定数をの値によってどのように変わるか。
(量りaeslg/     (2) z?上7十4ッ0、ッーをxy十2

 

 

 

 

 

197 次の点を通り, 与えられた円に接する直線の方程式と 接点の座標を求めよ
(1) 点(4 2)。タ2上アー4      %2) 点(=2。 9』 上エアー10

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Answer 1

ALF

平面上での直線と円の交わり方を考えてみると、以下の３パタンになります。
-----
①：２点で交わる（円を串刺しにしている状態）
②：１点で接する（円にピタッとくっついてる状態）
③：０点で交わる（交わらない、という意味です）
-----
これを頭に置きながら、問題を見直します。

この問題で与えられた式は、x²+y²=25、y=3x+k になります。
きっと、解答では円の式のyに直線の式のyを代入し整理していると思いますが、
の式の意味を考えてみます。

yで代入しているといことは、yの値が同じになるということ。
導かれた方程式は、yの値が同じ時のxの値を求める式になっている。
つまり、交点のx座標を求める式ができた、ということですね。
この式をf(x)とします。

改めて、図形的な形を考えると、

①のとき、
２点で交わる
→交点のx座標が2種類ある
→f(x)が異なる2つの解をもつ
→f(x)の判別式が正になる。

②のとき、
１点で交わる
→交点のx座標が1種類ある
→f(x)がただ１つ解をもつ
→つまり、重解を持つ
→f(x)の判別式は0になる

③のとき、
０点で交わる
→交点のx座標が存在しない
→f(x)がただ解をもたない（虚数解をもつ）
→f(x)の判別式は負になる

今回、kが2つ出てきてますが、
円の上側で接する場合と、下側で接する場合あるため、
それぞれの状態が、各kの値で表されています。

さて、kが定まると、一つのkに対して上で書いたf(x)の式が一つ決定します。
f(x)は交点のx座標を表す式なので、解くと重解のx座標が出てきます。

つまり、kが一つ定まると、円と直線の接し方が一つ定まり、f(x)が定まり、その時の重解のx座標が定まる。
kは2種類あるので、重解の持ち方も2種類でてくる。

以上ですが、不明な点があればご質問ください。