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本来であれば、a,bそれぞれを3で割った余りで分類すると、
(aの余り,bの余り)
=(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)
以上9通りが考えられます。
「aまたはbが割り切れない」のはこのうち
(aの余り,bの余り)
=(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)
の8通りありますので、8通りの場合分けが必要です。
丁寧な解説ありがとうございます！理解できました、とても助かりました、ありがとうございます！！
すみません。追加で質問なのですが、mとnで文字を使い分けるのはなぜでしょうか(TT)
aとbを同じ文字mを使って表してしまうと、mを動かしたときにaとbが連動してしまうからです。
たとえば、aが3の倍数でありbが3で割って1余る数だとします。
整数mを用いてa=3m、b=3m+1と表すと、
(m,a,b)=(1,3,4),(2,6,7),(3,9,10)…
のようにaとbが一緒に動いてしまい、aとbの差が1であるようなパターンしか表せないことになります。
別の整数nを用いてb=3n+1とすれば、
mとnを動かしたときにaとbが独立して動くので
はじめてすべての組合せを表現できることになります。
そうですね！！理解できました。何度もすみません。丁寧な解説ありがとうございました、助かりました！
8通りの場合分けは流石に面倒なので、いくつかの場合をまとめて一つの式で表現してしまいましょう。
まず、aが3で割り切れない場合を考えます。
3で割って1余る数は、整数mを用いて3m+1
3で割って2余る数は、整数mを用いて3m-1
と表せますが、ここで2つを3m±1とまとめることができます。
bが3で割り切れる場合、
①a=3m±1,b=3n
とまとめることができました。
次にbが3で割り切れない場合を考えます。
先ほどと同様にして、bについても整数nを用いて3n+1,3n-1のどちらかで表せます。
「じゃあbも3n±1でいいじゃん！」
と思うかもしれませんが、そうすると式で出てくる「±」の記号が
「a=3m±1」「b=3n±1」
どちらに由来するものなのかが区別できません。
なのでしょうがなく、
②a=3m±1,b=3n+1
③a=3m±1,b=3n-1
の2つの場合分けにとどめておくことにします。
前のコメントにある(aの余り,bの余り)による分類のうち
①→(1,0),(2,0)
②→(1,1),(2,1)
③→(1,2),(2,2)
がそれぞれ対応しています。
残りの(0,1),(0,2)については、①のa,bを入れ替えて同様に考えることができます。
以上のように、全8通りの場合分けを工夫してまとめました。